Flaechenberechnung mit Integralen

Einführung

In der Lektion zum Integralbegriff hast du gelernt, dass das bestimmte Integral die orientierte Fläche unter einer Kurve berechnet. Aber was, wenn die Kurve teilweise unter der $x$-Achse verlaeuft? Oder wenn du die Fläche zwischen zwei Kurven bestimmen sollst? Diese Aufgabentypen kommen im Abitur ständig vor. In dieser Lektion lernst du, wie du Flächenberechnungen korrekt durchfuehrst — Schritt fuer Schritt.

Grundidee

Stell dir ein Grundstueck vor, dessen Raender durch zwei geschwungene Zaeune begrenzt werden. Du willst die Fläche des Grundstuecks kennen. Dafuer musst du wissen:

1. Wo verlaufen die Zaeune? → Das sind die Funktionsgraphen.
2. Wo kreuzen sie sich? → Das sind die Schnittpunkte (Integrationsgrenzen).
3. Welcher Zaun ist oben, welcher unten? → Das bestimmt, welche Funktion du von welcher abziehst.

Die Kernidee: Die Fläche zwischen zwei Kurven ergibt sich, indem du die obere Funktion minus die untere Funktion integrierst. Die Fläche zwischen Kurve und $x$-Achse ist der Spezialfall, bei dem eine der beiden „Kurven” die $x$-Achse ($y = 0$) ist.

Erklärung

Orientiertes Integral vs. Flächeninhalt

Beispiel: $f(x) = x^2 - 1$ auf $[-2; 2]$

Nullstellen: $x^2 - 1 = 0$ → $x = \pm 1$

Das Integral ergibt:

$\int_{-2}^{2} (x^2 - 1)\, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-2}^{2} = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(-\frac{8}{3} + 2\right) = \frac{4}{3}$

Aber die Funktion ist fuer $-1 < x < 1$ negativ. Die positiven und negativen Anteile haben sich teilweise aufgehoben. Der tatsaechliche Flächeninhalt ist größer.

Fläche zwischen Kurve und x-Achse

Schritt 1: Bestimme die Nullstellen von $f$ im Intervall $[a; b]$.

Schritt 2: Zerlege $[a; b]$ an den Nullstellen in Teilintervalle.

Schritt 3: Berechne das Integral ueber jedes Teilintervall und nimm den Betrag.

Schritt 4: Addiere alle Betraege.

Beispiel (Fortsetzung): $f(x) = x^2 - 1$ auf $[-2; 2]$, Nullstellen $x = \pm 1$

$A_1 = \left|\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1)\, dx\right| = \left|\left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-2}^{-1}\right| = \left|\left(-\frac{1}{3} + 1\right) - \left(-\frac{8}{3} + 2\right)\right| = \left|\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\right| = \frac{4}{3}$

$A_2 = \left|\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)\, dx\right| = \left|\left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-1}^{1}\right| = \left|\left(\frac{1}{3} - 1\right) - \left(-\frac{1}{3} + 1\right)\right| = \left|-\frac{4}{3}\right| = \frac{4}{3}$

$A_3 = \left|\int_{1}^{2} (x^2 - 1)\, dx\right| = \frac{4}{3}$

$A = A_1 + A_2 + A_3 = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$

Der Flaecheninhalt betraegt $4$, während das orientierte Integral nur $\frac{4}{3}$ ergab.

Fläche zwischen zwei Kurven

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ auf $[a; b]$.

Beispiel: Fläche zwischen $f(x) = x + 2$ und $g(x) = x^2$

Schnittpunkte: $x + 2 = x^2$ → $x^2 - x - 2 = 0$ → $(x-2)(x+1) = 0$ → $x_1 = -1$, $x_2 = 2$

Welche liegt oben? Teste $x = 0$: $f(0) = 2$, $g(0) = 0$ → $f$ liegt oben.

$A = \int_{-1}^{2} [(x + 2) - x^2]\, dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2)\, dx$

$= \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2}$

$= \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4{,}5$

Sonderfall: Wechselnde Lage

Wenn sich die Kurven im Intervall kreuzen, muss man an den Schnittpunkten aufteilen — genau wie bei der $x$-Achse.

Beispiel: $f(x) = x^3$ und $g(x) = x$ auf $[-1; 1]$

Schnittpunkte: $x^3 = x$ → $x^3 - x = 0$ → $x(x-1)(x+1) = 0$ → $x = -1, 0, 1$

• Auf $[-1; 0]$: $f(x) = x^3 \geq x = g(x)$ (denn beide sind negativ und $x^3$ ist weniger negativ)
• Auf $[0; 1]$: $g(x) = x \geq x^3 = f(x)$

$A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x)\, dx + \int_{0}^{1} (x - x^3)\, dx$

$= \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}$

$= \left(0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 0\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Beispiel aus dem Alltag

Gewinnberechnung:

Ein Unternehmen hat die Erloesrate $E'(x) = 20 - 2x$ und die Kostenrate $K'(x) = 4 + x$ (Euro pro Stück), wobei $x$ die Menge ist.

Der Gewinn ist die Fläche zwischen den beiden Raten:

Schnittpunkt: $20 - 2x = 4 + x$ → $16 = 3x$ → $x = \frac{16}{3} \approx 5{,}33$

Fuer $0 \leq x \leq \frac{16}{3}$ liegt $E'$ ueber $K'$ (der Erloes je Stueck ist groesser als die Kosten je Stueck):

$G = \int_0^{16/3} [(20 - 2x) - (4 + x)]\, dx = \int_0^{16/3} (16 - 3x)\, dx$

$= \left[16x - \frac{3}{2}x^2\right]_0^{16/3} = 16 \cdot \frac{16}{3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{256}{9} = \frac{256}{3} - \frac{128}{3} = \frac{128}{3} \approx 42{,}67\,\text{Euro}$

Anwendung

Aufgabe 1: Berechne den Flächeninhalt, den $f(x) = x^2 - 4$ mit der $x$-Achse einschliesst.

Loesung: Nullstellen: $x = \pm 2$. Fuer $-2 < x < 2$ ist $f(x) < 0$.

$A = \left|\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\, dx\right| = \left|\left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_{-2}^{2}\right| = \left|\left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(-\frac{8}{3} + 8\right)\right| = \left|-\frac{32}{3}\right| = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$

Aufgabe 2: Berechne die Fläche zwischen $f(x) = x^2$ und $g(x) = 4$.

Loesung: Schnittpunkte: $x^2 = 4$ → $x = \pm 2$. $g$ liegt oben.

$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\, dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$

Aufgabe 3: Berechne die Fläche zwischen $f(x) = x^3$ und der $x$-Achse auf $[-1; 1]$.

Loesung:

$A = \left|\int_{-1}^{0} x^3\, dx\right| + \left|\int_{0}^{1} x^3\, dx\right| = \left|-\frac{1}{4}\right| + \left|\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Typische Fehler

Zusammenfassung

• Das bestimmte Integral liefert die orientierte Fläche — Bereiche unter der $x$-Achse zaehlen negativ.
• Fuer den Flächeninhalt zwischen Kurve und $x$-Achse: An Nullstellen aufteilen und Betraege bilden.
• Fläche zwischen zwei Kurven: $A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx$ — obere Funktion minus untere Funktion.
• Schnittpunkte exakt berechnen — sie sind die Integrationsgrenzen.
• Wenn die Kurven sich im Intervall kreuzen, an den Schnittpunkten aufteilen.
• Eine Skizze ist unverzichtbar, um die Lage der Kurven zu erkennen.

Quiz

Frage 1: Warum ist $\int_{-1}^{1} x^3\, dx = 0$ kein Widerspruch dazu, dass der Graph von $f(x) = x^3$ Fläche einschliesst?

Weil das Integral orientiert ist: Die negative Flaeche auf $[-1; 0]$ und die positive Flaeche auf $[0; 1]$ sind betragsgmaessig gleich groß und heben sich auf. Der tatsaechliche Flaecheninhalt ist $|{-\frac{1}{4}}| + |\frac{1}{4}| = \frac{1}{2}$.

Frage 2: Wie berechnest du die Fläche zwischen $f(x)$ und $g(x)$, wenn sich die Kurven im Intervall kreuzen?

Man bestimmt die Schnittpunkte, teilt das Intervall dort auf und integriert in jedem Teilintervall $(\text{obere Funktion} - \text{untere Funktion})$. In jedem Teilintervall muss man prüfen, welche Funktion oben liegt (z. B. durch Einsetzen eines Testwertes).

Frage 3: Berechne die Fläche zwischen $f(x) = x^2$ und $g(x) = x$ fuer $0 \leq x \leq 1$.

$g(x) = x \geq x^2 = f(x)$ auf $[0; 1]$. $A = \int_0^1 (x - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Frage 4: Warum ist eine Skizze bei Flächenberechnungen so wichtig?

Weil die Skizze zeigt, welche Funktion auf welchem Intervall oberhalb der anderen liegt, wo Nullstellen und Schnittpunkte sind, und ob man das Intervall aufteilen muss. Ohne Skizze passiert es leicht, dass man die Vorzeichen verwechselt oder Teilflaechen vergisst.