Fläche zwischen zwei Kurven

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = x^2$ und $g(x) = 2x + 3$ .

(a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen. (2 BE)
(b) Skizzieren Sie beide Graphen und markieren Sie die eingeschlossene Fläche. (2 BE)
(c) Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen von $f$ und $g$ eingeschlossen wird. (5 BE)
(d) Bestimmen Sie die Stelle $x_0 \in [-1;\; 3]$ , an der der Abstand zwischen den beiden Graphen maximal ist, und geben Sie diesen maximalen Abstand an. (3 BE)

$f(x) = g(x) \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2x + 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -1, \quad x_2 = 3$

Schnittpunkte:

$S_1(-1 \mid 1), \quad S_2(3 \mid 9)$

$\boxed{S_1(-1 \mid 1), \quad S_2(3 \mid 9)}$

Testpunkt $x = 0$ : $f(0) = 0$ , $g(0) = 3$ . Also $g(x) > f(x)$ im Intervall $(-1;\; 3)$ .

$A = \int_{-1}^{3} \big(g(x) - f(x)\big)\,dx = \int_{-1}^{3} (2x + 3 - x^2)\,dx$

$= \left[x^2 + 3x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{3}$

Obere Grenze ( $x = 3$ ):

$9 + 9 - 9 = 9$

Untere Grenze ( $x = -1$ ):

$1 - 3 + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}$

$A = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}$

$\boxed{A = \frac{32}{3} \approx 10{,}67\,\text{FE}}$

Der Abstand zwischen den Graphen ist:

$d(x) = g(x) - f(x) = -x^2 + 2x + 3$

$d'(x) = -2x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = 1$

Zweite Ableitung: $d''(x) = -2 < 0$ → Maximum.

$d(1) = -1 + 2 + 3 = 4$

$\boxed{x_0 = 1, \quad d_{\max} = 4}$

Der maximale Abstand von $4$ wird bei $x = 1$ erreicht: $f(1) = 1$ , $g(1) = 5$ , Differenz $= 4$ . ✓