Fläche zwischen Parabel und x-Achse

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

(a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f$ und skizzieren Sie den Graphen im Intervall $[-1;\; 5]$ . (2 BE)
(b) Berechnen Sie die Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt. (4 BE)
(c) Berechnen Sie $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$ und erklären Sie, warum dieses Integral nicht die gesuchte Fläche liefert. (4 BE)

$f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0$

$\boxed{x_1 = 1, \quad x_2 = 3}$

Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei $x_S = 2$ , $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ .

Zwischen $x = 1$ und $x = 3$ verläuft der Graph unterhalb der $x$ -Achse.

Da $f(x) \leq 0$ für $1 \leq x \leq 3$ , muss der Betrag genommen werden:

$A = \left|\int_1^3 f(x)\,dx\right|$

$\int_1^3 (x^2 - 4x + 3)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x\right]_1^3$

Obere Grenze ( $x = 3$ ):

$\frac{27}{3} - 18 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$

Untere Grenze ( $x = 1$ ):

$\frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}$

$\int_1^3 f(x)\,dx = 0 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$

$\boxed{A = \left|-\frac{4}{3}\right| = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\,\text{FE}}$

$\int_0^4 f(x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x\right]_0^4$

$= \frac{64}{3} - 32 + 12 - 0 = \frac{64}{3} - 20 = \frac{64 - 60}{3} = \frac{4}{3}$

$\boxed{\int_0^4 f(x)\,dx = \frac{4}{3}}$

Das bestimmte Integral liefert die orientierte Fläche: Flächenanteile unterhalb der $x$ -Achse werden negativ gezählt. Hier:

$\int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^3 f(x)\,dx + \int_3^4 f(x)\,dx = \frac{4}{3} + \left(-\frac{4}{3}\right) + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

Die tatsächliche (geometrische) Fläche zwischen $[0;\; 4]$ beträgt:

$A_{\text{gesamt}} = \int_0^1 f(x)\,dx + \left|\int_1^3 f(x)\,dx\right| + \int_3^4 f(x)\,dx = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4\,\text{FE}$

$\boxed{\text{Integral} = \frac{4}{3}, \quad \text{Fläche} = 4\,\text{FE}}$

Frage	Antwort
Nullstellen	$x_1 = 1$ , $x_2 = 3$
Fläche zwischen Graph und $x$ -Achse	$\frac{4}{3} \approx 1{,}33\,\text{FE}$
$\int_0^4 f(x)\,dx$	$\frac{4}{3}$
Geometrische Fläche $[0;\; 4]$	$4\,\text{FE}$