Kurvendiskussion

Einführung

Die Kurvendiskussion ist das Herzstueeck der Analysis im Abitur. Du untersuchst eine Funktion systematisch auf alle wichtigen Eigenschaften — Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Monotonie und mehr — und zeichnest daraus ein vollständiges Bild des Graphen. Fast jede Abi-Klausur enthält eine Kurvendiskussion, und die Methoden tauchen auch in Sachzusammenhaengen (Optimierung, Modellierung) immer wieder auf.

Grundidee

Stell dir vor, du wanderst ueber ein Gebirge und siehst nur den Boden unter deinen Fuessen — du hast keine Karte. Trotzdem kannst du einiges herausfinden:

• Wo bin ich auf Meereshöhe? → Das sind die Nullstellen.
• Geht es bergauf oder bergab? → Das ist die Monotonie (Vorzeichen von $f'$).
• Bin ich auf einem Gipfel oder in einem Tal? → Das sind die Extrempunkte ($f' = 0$ mit Vorzeichenwechsel).
• Wo ändert sich die Neigung am stärksten? → Das sind die Wendepunkte (die Kruemmung wechselt).

Die Kurvendiskussion ist wie das Erstellen einer Wanderkarte, ohne das Gebirge von oben gesehen zu haben. Du nützt nur lokale Information (Steigung, Kruemmung), um das globale Bild zu rekonstruieren.

Erklärung

Schritt 1: Definitionsbereich

Bestimme, fuer welche $x$-Werte die Funktion definiert ist. Bei ganzrationalen Funktionen (Polynomen) ist der Definitionsbereich immer $\mathbb{R}$.

Schritt 2: Symmetrie

Achsensymmetrie zur $y$-Achse: $f(-x) = f(x)$ (nur gerade Exponenten)

Punktsymmetrie zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$ (nur ungerade Exponenten)

Beispiel: $f(x) = x^4 - 2x^2$ hat nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Schritt 3: Verhalten im Unendlichen

Fuer grosse $|x|$ bestimmt der Term mit dem hoechsten Exponenten das Verhalten:

Bei $f(x) = a_n x^n + \ldots$

• $n$ gerade, $a_n > 0$: $f(x) \to +\infty$ fuer $x \to \pm\infty$
• $n$ gerade, $a_n < 0$: $f(x) \to -\infty$ fuer $x \to \pm\infty$
• $n$ ungerade, $a_n > 0$: $f(x) \to -\infty$ fuer $x \to -\infty$ und $f(x) \to +\infty$ fuer $x \to +\infty$
• $n$ ungerade, $a_n < 0$: umgekehrt

Schritt 4: Nullstellen

Setze $f(x) = 0$ und loese nach $x$.

Methoden:

• Ausklammern: $f(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)$ → Nullstellen: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$
• Substitution: Bei biquadratischen Funktionen wie $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ setze $z = x^2$
• Polynomdivision: Wenn eine Nullstelle $x_0$ bekannt ist, teile durch $(x - x_0)$

Schritt 5: Extremstellen

Beispiel: $f(x) = x^3 - 3x$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

$f'(x) = 0$ → $x_1 = -1$, $x_2 = 1$

$f''(x) = 6x$

• $f''(-1) = -6 < 0$ → Hochpunkt bei $(-1 \mid 2)$
• $f''(1) = 6 > 0$ → Tiefpunkt bei $(1 \mid -2)$

Schritt 6: Monotonie

$f$ ist monoton steigend, wo $f'(x) > 0$.

$f$ ist monoton fallend, wo $f'(x) < 0$.

Die Nullstellen von $f'$ teilen die $x$-Achse in Intervalle. Prüfe in jedem Intervall das Vorzeichen von $f'$ (z. B. durch Einsetzen eines Testwertes).

Fuer $f(x) = x^3 - 3x$ mit $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$:

Intervall	$f'(x)$	Monotonie
$x < -1$	$+$	steigend
$-1 < x < 1$	$-$	fallend
$x > 1$	$+$	steigend

Schritt 7: Wendepunkte

Beispiel (Fortsetzung): $f''(x) = 6x = 0$ → $x = 0$

$f'''(x) = 6 \neq 0$ → Wendepunkt bei $(0 \mid 0)$.

• Fuer $x < 0$: $f''(x) < 0$ → Rechtskruemmung (Graph ist wie ein Berg gewoelbt)
• Fuer $x > 0$: $f''(x) > 0$ → Linkskruemmung (Graph ist wie ein Tal gewoelbt)

Zusammenfassung der Schritte

Schritt	Was	Wie
Definitionsbereich	Wo ist $f$ definiert?	Nenner $\neq 0$, Wurzeln $\geq 0$
Symmetrie	Achsen-/Punktsymmetrie	$f(-x) = f(x)$ oder $f(-x) = -f(x)$
Grenzverhalten	Was passiert fuer $x \to \pm\infty$?	Führender Term
Nullstellen	Wo schneidet $f$ die $x$-Achse?	$f(x) = 0$ loesen
Extremstellen	Hoch-/Tiefpunkte	$f'(x) = 0$ + VZW oder $f''$
Monotonie	Wo steigt/fällt $f$?	Vorzeichen von $f'$
Wendepunkte	Wo wechselt die Kruemmung?	$f''(x) = 0$ + VZW oder $f'''$

Beispiel aus dem Alltag

Gewinnsituation eines Unternehmens:

Der Gewinn eines Start-ups wird modelliert durch:

$G(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x - 10$

wobei $x$ die Produktionsmenge in Tausend Stück ist.

Extremstellen: $G'(x) = -3x^2 + 18x - 15 = -3(x^2 - 6x + 5) = -3(x - 1)(x - 5)$

$G'(x) = 0$ → $x_1 = 1$, $x_2 = 5$

$G''(x) = -6x + 18$

• $G''(1) = 12 > 0$ → Tiefpunkt bei $x = 1$: $G(1) = -17$ (Verlust)
• $G''(5) = -12 < 0$ → Hochpunkt bei $x = 5$: $G(5) = 15$ (maximaler Gewinn)

Wendepunkt: $G''(x) = 0$ → $x = 3$: $G(3) = -1$

Bei $x = 3$ wechselt die Kruemmung — das Gewinnwachstum nimmt ab diesem Punkt ab. Trotzdem steigt der Gewinn noch bis $x = 5$.

Anwendung

Aufgabe 1: Führe eine vollständige Kurvendiskussion fuer $f(x) = x^3 - 12x$ durch.

Loesung:

• Symmetrie: $f(-x) = -x^3 + 12x = -f(x)$ → punktsymmetrisch zum Ursprung
• Grenzverhalten: $f(x) \to -\infty$ fuer $x \to -\infty$ und $f(x) \to +\infty$ fuer $x \to +\infty$
• Nullstellen: $x(x^2 - 12) = 0$ → $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3{,}46$
• $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2) = 0$ → $x = \pm 2$
• $f''(x) = 6x$. $f''(-2) = -12 < 0$ → HP $(-2 \mid 16)$. $f''(2) = 12 > 0$ → TP $(2 \mid -16)$.
• Wendepunkt: $f''(x) = 6x = 0$ → $x = 0$, $f(0) = 0$ → WP $(0 \mid 0)$

Aufgabe 2: Bestimme die Extremstellen von $f(x) = x^4 - 8x^2$.

Loesung:

$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2) = 0$ → $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$

$f''(x) = 12x^2 - 16$

• $f''(0) = -16 < 0$ → HP $(0 \mid 0)$
• $f''(2) = 32 > 0$ → TP $(2 \mid -16)$
• $f''(-2) = 32 > 0$ → TP $(-2 \mid -16)$

Typische Fehler

Zusammenfassung

• Die Kurvendiskussion untersucht eine Funktion systematisch auf Definitionsbereich, Symmetrie, Grenzverhalten, Nullstellen, Extremstellen, Monotonie und Wendepunkte.
• Extremstellen: $f'(x) = 0$ (notwendig) und Vorzeichenwechsel von $f'$ (hinreichend).
• Wendepunkte: $f''(x) = 0$ (notwendig) und Vorzeichenwechsel von $f''$ (hinreichend).
• Die Monotonie ergibt sich aus dem Vorzeichen von $f'$, die Kruemmung aus dem Vorzeichen von $f''$.
• Das Verhalten fuer $x \to \pm\infty$ wird vom führenden Term bestimmt.
• Symmetrie kann die Arbeit halbieren: Bei Achsensymmetrie genügt die Untersuchung fuer $x \geq 0$.

Quiz

Frage 1: Nenne die notwendige und die hinreichende Bedingung fuer eine Extremstelle.

Notwendige Bedingung: $f'(x_0) = 0$. Hinreichende Bedingung: $f'$ hat bei $x_0$ einen Vorzeichenwechsel. Alternativ: $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) \neq 0$ (dann entscheidet das Vorzeichen von $f''$).

Frage 2: Warum hat $f(x) = x^3$ bei $x = 0$ keinen Extrempunkt, obwohl $f'(0) = 0$?

Weil $f'(x) = 3x^2 \geq 0$ fuer alle $x$. Es findet kein Vorzeichenwechsel statt — $f'$ ist links und rechts von $x = 0$ positiv (bzw. Null). Die Funktion steigt auf ganz $\mathbb{R}$, $x = 0$ ist ein Sattelpunkt.

Frage 3: Bestimme die Wendepunkte von $f(x) = x^4 - 6x^2 + 1$.

$f'(x) = 4x^3 - 12x$, $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 0$ → $x = \pm 1$. $f'''(x) = 24x$. $f'''(1) = 24 \neq 0$ und $f'''(-1) = -24 \neq 0$. Also Wendepunkte bei $(1 \mid -4)$ und $(-1 \mid -4)$.

Frage 4: Was sagt das Vorzeichen von $f''$ ueber den Graphen aus?

$f''(x) > 0$ bedeutet Linkskruemmung (der Graph ist nach oben geoeffnet, wie ein Tal). $f''(x) < 0$ bedeutet Rechtskruemmung (der Graph ist nach unten geoeffnet, wie ein Berg). Am Wendepunkt wechselt die Kruemmungsrichtung.