Integralbegriff

Einführung

Das Integral ist das Gegenstueck zur Ableitung — und genauso wichtig. Während die Ableitung fragt „Wie schnell ändert sich etwas?”, fragt das Integral „Wie viel kommt insgesamt zusammen?”. Flächeninhalte, zurückgelegte Strecken, verbrauchte Energie — all das lässt sich mit Integralen berechnen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Ableitung und Integral zu einem der elegantesten Ergebnisse der Mathematik.

Grundidee

Stell dir vor, du faehrst mit dem Fahrrad und dein Tacho zeigt die Geschwindigkeit $v(t)$ an. Nach einer Stunde willst du wissen: Welche Strecke habe ich zurückgelegt?

Wenn die Geschwindigkeit konstant waere, waere es einfach: Strecke $=$ Geschwindigkeit $\times$ Zeit. Aber deine Geschwindigkeit schwankt — bergauf langsamer, bergab schneller.

Die Loesung: Du zerlegst die Fahrt in winzige Zeitabschnitte. In jedem Abschnitt ist die Geschwindigkeit nahezu konstant, also ist die Teilstrecke ungefaehr „Geschwindigkeit mal Zeitdauer”. Wenn du alle Teilstrecken addierst, erhältst du die Gesamtstrecke.

Genau das ist das Integral: Unendlich viele, unendlich schmale Rechtecke aufsummieren. Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm entspricht die zurückgelegte Strecke der Fläche unter der Kurve.

Erklärung

Das Flächenproblem

Gegeben ist $f(x) \geq 0$ auf dem Intervall $[a; b]$. Gesucht ist die Fläche zwischen dem Graphen von $f$, der $x$-Achse und den Grenzen $x = a$ und $x = b$.

Ober- und Untersummen

Teile das Intervall $[a; b]$ in $n$ gleich breite Streifen der Breite $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Untersumme $U_n$: In jedem Streifen nimmst du den kleinsten Funktionswert als Rechteckhöhe.

Obersumme $O_n$: In jedem Streifen nimmst du den groessten Funktionswert als Rechteckhöhe.

$U_n \leq \text{tatsaechliche Flaeche} \leq O_n$

Je mehr Streifen ($n \to \infty$), desto enger schliessen sich $U_n$ und $O_n$ zusammen. Im Grenzwert stimmen sie ueberein — dieser Grenzwert ist das bestimmte Integral.

Beispiel: $f(x) = x^2$ auf $[0; 1]$ mit $n = 4$ Streifen ($\Delta x = 0{,}25$):

Streifen	Intervall	Untersumme (linker Wert)	Obersumme (rechter Wert)
1	$[0;\; 0{,}25]$	$0^2 = 0$	$0{,}25^2 = 0{,}0625$
2	$[0{,}25;\; 0{,}5]$	$0{,}0625$	$0{,}25$
3	$[0{,}5;\; 0{,}75]$	$0{,}25$	$0{,}5625$
4	$[0{,}75;\; 1]$	$0{,}5625$	$1$

$U_4 = 0{,}25 \cdot (0 + 0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625) = 0{,}25 \cdot 0{,}875 = 0{,}21875$

$O_4 = 0{,}25 \cdot (0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625 + 1) = 0{,}25 \cdot 1{,}875 = 0{,}46875$

Der exakte Wert ist $\frac{1}{3} \approx 0{,}333$, und er liegt wie erwartet zwischen $U_4$ und $O_4$.

Das bestimmte Integral

Die Stammfunktion

Eine Funktion $F$ heisst Stammfunktion von $f$, wenn $F'(x) = f(x)$.

Beispiele:

$f(x)$	$F(x)$	Probe: $F'(x)$
$x^2$	$\frac{1}{3}x^3$	$3 \cdot \frac{1}{3}x^2 = x^2$ ✓
$3x$	$\frac{3}{2}x^2$	$\frac{3}{2} \cdot 2x = 3x$ ✓
$1$	$x$	$1$ ✓
$e^x$	$e^x$	$e^x$ ✓

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Das ist die geniale Verbindung: Die Ableitung (lokale Änderungsrate) und das Integral (globale Aufsummierung) sind Umkehroperationen voneinander.

Beispiel: $\int_0^1 x^2\, dx$

Stammfunktion von $x^2$ ist $F(x) = \frac{1}{3}x^3$.

$\int_0^1 x^2\, dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{1}{3}$

Genau der Wert, den Ober- und Untersummen annaeherten!

Rechenregeln fuer bestimmte Integrale

$\int_a^a f(x)\, dx = 0$

$\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx$

$\int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx$

Beispiel aus dem Alltag

Wassertank:

Wasser fliesst mit der Rate $r(t) = 6t - t^2$ (in Litern pro Minute) in einen Tank, wobei $0 \leq t \leq 6$. Wie viel Wasser fliesst insgesamt in den Tank?

$V = \int_0^6 (6t - t^2)\, dt = \left[3t^2 - \frac{1}{3}t^3\right]_0^6 = 3 \cdot 36 - \frac{1}{3} \cdot 216 = 108 - 72 = 36$

In 6 Minuten fliessen $36$ Liter in den Tank.

Strecke beim Bremsen:

Ein Auto bremst: $v(t) = 20 - 4t$ (m/s) fuer $0 \leq t \leq 5$. Die zurückgelegte Strecke ist:

$s = \int_0^5 (20 - 4t)\, dt = \left[20t - 2t^2\right]_0^5 = 100 - 50 = 50\,\text{m}$

Der Bremsweg betraegt $50$ Meter.

Anwendung

Aufgabe 1: Berechne $\int_1^4 (2x + 1)\, dx$.

Loesung: Stammfunktion: $F(x) = x^2 + x$

$\left[x^2 + x\right]_1^4 = (16 + 4) - (1 + 1) = 20 - 2 = 18$

Aufgabe 2: Berechne $\int_0^2 3x^2\, dx$.

Loesung: $F(x) = x^3$

$\left[x^3\right]_0^2 = 8 - 0 = 8$

Aufgabe 3: Berechne $\int_{-1}^{1} (x^3 - x)\, dx$.

Loesung: $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2$

$\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = 0$

Das Integral ist $0$, weil $f(x) = x^3 - x$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die positiven und negativen Flächenanteile sich aufheben.

Typische Fehler

Zusammenfassung

• Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ ist der Grenzwert der Ober-/Untersummen und misst die orientierte Fläche unter der Kurve.
• Eine Stammfunktion $F$ von $f$ erfuellt $F'(x) = f(x)$.
• Der Hauptsatz verbindet beides: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Stammfunktionen sind bis auf eine Konstante $C$ eindeutig.
• Integration und Differentiation sind Umkehroperationen.
• Das Integral kann negative Werte annehmen, wenn $f(x) < 0$.

Quiz

Frage 1: Was ist eine Stammfunktion? Nenne eine Stammfunktion von $f(x) = 4x^3$.

Eine Funktion $F$ mit $F'(x) = f(x)$. Fuer $f(x) = 4x^3$ ist $F(x) = x^4$ eine Stammfunktion, denn $(x^4)' = 4x^3$. Auch $F(x) = x^4 + 7$ waere eine Stammfunktion.

Frage 2: Berechne $\int_0^3 2x\, dx$ mit dem Hauptsatz.

Stammfunktion: $F(x) = x^2$. $\int_0^3 2x\, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$.

Frage 3: Warum kann $\int_a^b f(x)\,dx$ negativ sein?

Weil das bestimmte Integral die orientierte Fläche misst. Bereiche, in denen $f(x) < 0$, liefern einen negativen Beitrag. Positive und negative Anteile koennen sich teilweise oder vollständig aufheben.

Frage 4: Formuliere den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in eigenen Worten.

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist (also $F' = f$), dann lässt sich das bestimmte Integral berechnen als $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Man braucht keine Grenzwerte von Summen — eine Stammfunktion genügt.