Integrationsregeln

Einführung

Du kennst den Hauptsatz: Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, brauchst du eine Stammfunktion. Aber wie findet man Stammfunktionen? Fuer einfache Funktionen genügt das Umkehren der Ableitungsregeln. Fuer kompliziertere Funktionen gibt es zwei Schluesselverfahren — partielle Integration und Substitution — die direkt aus Produkt- und Kettenregel hervorgehen. Mit diesen Werkzeugen lässt sich ein Grossteil der Abi-Integrale loesen.

Grundidee

Ableiten ist wie eine Einbahnstrasse: Du hast klare Regeln (Potenzregel, Kettenregel, …) und kommst immer zum Ergebnis. Integrieren ist die Rueckfahrt — und die ist oft schwieriger, weil es keine universelle „Umkehrregel” gibt.

Stell dir vor, Ableiten ist wie das Zerlegen eines Lego-Modells in Einzelteile — das geht schnell. Integrieren ist wie das Zusammenbauen ohne Anleitung: Du musst die richtige Strategie erkennen.

Die gute Nachricht: Fuer Abi-Aufgaben genügen wenige Grundtechniken:

• Potenzregel rueckwaerts (fuer Polynome)
• Partielle Integration (wenn ein Produkt da steht — „Umkehrung der Produktregel”)
• Substitution (wenn eine Verkettung da steht — „Umkehrung der Kettenregel”)

Erklärung

Das unbestimmte Integral

Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen:

$\int f(x)\, dx = F(x) + C$

wobei $F'(x) = f(x)$ und $C$ eine beliebige Konstante ist.

Potenzregel (rueckwaerts)

Beispiele:

$f(x)$	$\int f(x)\, dx$
$x^4$	$\frac{1}{5}x^5 + C$
$x^{-3} = \frac{1}{x^3}$	$-\frac{1}{2}x^{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$
$\sqrt{x} = x^{1/2}$	$\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
$1$	$x + C$

Faktorregel

$\int c \cdot f(x)\, dx = c \cdot \int f(x)\, dx$

Konstante Faktoren duerfen vor das Integral gezogen werden.

Summenregel

$\int [f(x) + g(x)]\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx$

Summen werden gliedweise integriert.

Beispiel: $\int (3x^2 - 4x + 5)\, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$

Wichtige Stammfunktionen

$f(x)$	$F(x)$
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x$
$e^{kx}$	$\frac{1}{k}e^{kx}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$
$\cos(x)$	$\sin(x)$

(Jeweils $+ C$.)

Partielle Integration

Partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel. Sie hilft bei Integralen der Form $\int u(x) \cdot v'(x)\, dx$.

Beispiel 1: $\int x \cdot e^x\, dx$

Setze $u = x$ (wird durch Ableiten einfacher: $u' = 1$) und $v' = e^x$ (leicht integrierbar: $v = e^x$).

$\int x \cdot e^x\, dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x\, dx = x \cdot e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$

Probe: $[e^x(x-1)]' = e^x(x-1) + e^x \cdot 1 = e^x \cdot x = x \cdot e^x$ ✓

Beispiel 2: $\int x^2 \cdot e^x\, dx$

$u = x^2$, $v' = e^x$ → $u' = 2x$, $v = e^x$

$\int x^2 \cdot e^x\, dx = x^2 \cdot e^x - \int 2x \cdot e^x\, dx$

Das verbleibende Integral kennen wir aus Beispiel 1:

$= x^2 \cdot e^x - 2(x \cdot e^x - e^x) + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Substitution

Die Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel. Sie hilft bei Integralen, in denen eine innere Funktion und deren Ableitung vorkommen.

Beispiel 1: $\int 2x \cdot e^{x^2}\, dx$

Setze $u = x^2$, dann $du = 2x\, dx$.

$\int 2x \cdot e^{x^2}\, dx = \int e^u\, du = e^u + C = e^{x^2} + C$

Beispiel 2: $\int \frac{2x}{x^2 + 1}\, dx$

Setze $u = x^2 + 1$, dann $du = 2x\, dx$.

$\int \frac{2x}{x^2 + 1}\, dx = \int \frac{1}{u}\, du = \ln|u| + C = \ln(x^2 + 1) + C$

Beispiel 3: $\int (3x + 2)^5\, dx$

Setze $u = 3x + 2$, dann $du = 3\, dx$, also $dx = \frac{1}{3}\, du$.

$\int (3x + 2)^5\, dx = \frac{1}{3}\int u^5\, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{(3x + 2)^6}{18} + C$

Substitution bei bestimmten Integralen

Bei bestimmten Integralen muessen die Grenzen mit transformiert werden:

$\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\, du$

Beispiel: $\int_0^1 2x \cdot e^{x^2}\, dx$ mit $u = x^2$:

Neue Grenzen: $u(0) = 0$, $u(1) = 1$

$\int_0^1 e^u\, du = [e^u]_0^1 = e - 1$

Beispiel aus dem Alltag

Energieverbrauch:

Ein Haushalt verbraucht Strom mit der Rate $P(t) = 0{,}5 + 0{,}3\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)$ kW, wobei $t$ die Stunde des Tages ist. Der Gesamtverbrauch in 24 Stunden:

$E = \int_0^{24} \left(0{,}5 + 0{,}3\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right) dt$

$= \left[0{,}5t - 0{,}3 \cdot \frac{12}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right]_0^{24}$

$= \left(12 - \frac{3{,}6}{\pi}\cos(2\pi)\right) - \left(0 - \frac{3{,}6}{\pi}\cos(0)\right) = 12 - \frac{3{,}6}{\pi} + \frac{3{,}6}{\pi} = 12\,\text{kWh}$

Der Sinus-Anteil hebt sich ueber 24 Stunden auf — der Verbrauch entspricht dem Grundverbrauch mal Zeit.

Anwendung

Aufgabe 1: Berechne $\int (4x^3 - 6x + 2)\, dx$.

Loesung: Gliedweise mit Potenzregel: $x^4 - 3x^2 + 2x + C$

Aufgabe 2: Berechne $\int x \cdot \cos(x)\, dx$ mit partieller Integration.

Loesung: $u = x$, $v' = \cos(x)$ → $u' = 1$, $v = \sin(x)$

$\int x \cos(x)\, dx = x \sin(x) - \int \sin(x)\, dx = x\sin(x) + \cos(x) + C$

Aufgabe 3: Berechne $\int_0^2 x \cdot e^{-x^2}\, dx$ mit Substitution.

Loesung: $u = -x^2$, $du = -2x\, dx$. Grenzen: $u(0) = 0$, $u(2) = -4$.

$\int_0^2 x \cdot e^{-x^2}\, dx = -\frac{1}{2}\int_0^{-4} e^u\, du = -\frac{1}{2}[e^u]_0^{-4} = -\frac{1}{2}(e^{-4} - 1) = \frac{1}{2}(1 - e^{-4}) \approx 0{,}491$

Typische Fehler

Zusammenfassung

• Die Potenzregel rueckwaerts ergibt $\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
• Summenregel und Faktorregel funktionieren beim Integrieren genauso wie beim Ableiten.
• Partielle Integration ($\int u \cdot v' = uv - \int u' \cdot v$) ist die Umkehrung der Produktregel.
• Substitution ($u = g(x)$, $du = g'(x)\, dx$) ist die Umkehrung der Kettenregel.
• Bei bestimmten Integralen mit Substitution die Grenzen mittransformieren.
• Ergebnisse immer durch Ableiten der Stammfunktion prüfen.

Quiz

Frage 1: Berechne $\int (5x^4 - \frac{1}{x^2})\, dx$.

$\int (5x^4 - x^{-2})\, dx = x^5 + x^{-1} + C = x^5 + \frac{1}{x} + C$

Frage 2: Erkläre, wann du partielle Integration und wann Substitution verwendest.

Partielle Integration bei einem Produkt, bei dem ein Faktor durch Ableiten einfacher wird (z. B. $x \cdot e^x$). Substitution bei einer Verkettung, wenn die innere Ableitung (evtl. bis auf einen Faktor) auch im Integranden vorkommt (z. B. $2x \cdot e^{x^2}$).

Frage 3: Berechne $\int_0^1 (2x+1)^3\, dx$ mit Substitution.

$u = 2x + 1$, $du = 2\, dx$. Grenzen: $u(0) = 1$, $u(1) = 3$. $\frac{1}{2}\int_1^3 u^3\, du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^3 = \frac{1}{8}(81 - 1) = 10$.

Frage 4: Warum gibt es keine einfache „Produktregel” fuer Integrale?

Weil die Produktregel beim Ableiten $(uv)' = u'v + uv'$ lautet. Integriert man beide Seiten, erhält man $uv = \int u'v + \int uv'$, also $\int uv' = uv - \int u'v$. Das ist die partielle Integration — sie gibt kein einfaches Produkt von Stammfunktionen, sondern führt auf ein neues Integral.