Ableitungsregeln

Einführung

In der letzten Lektion hast du die Ableitung ueber den Grenzwert des Differenzenquotienten kennengelernt. Diesen Weg jedes Mal zu gehen, waere extrem muehsam. Zum Glück gibt es Ableitungsregeln — Rezepte, mit denen du Ableitungen direkt hinschreiben kannst, ohne jedes Mal den Grenzwert berechnen zu muessen. Diese Regeln sind dein tägliches Werkzeug fuer Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben und Integralrechnung.

Grundidee

Stell dir vor, du arbeitest in einer Kueche. Statt jedes Gericht von Grund auf neu zu erfinden, hast du Grundrezepte: Sosse, Teig, Marinade. Komplexe Gerichte baust du aus diesen Bausteinen zusammen.

Genauso funktionieren Ableitungsregeln: Du lernst, wie man einfache Funktionen ableitet (Potenzregel), und dann, wie man zusammengesetzte Funktionen aus diesen Bausteinen behandelt:

• Addiert? → Summenregel (jede Zutat einzeln wuerzen)
• Mal eine Zahl? → Faktorregel (die Zahl bleibt einfach stehen)
• Multipliziert? → Produktregel (beide Faktoren beruecksichtigen)
• Geteilt? → Quotientenregel (Zaehler und Nenner getrennt behandeln)
• Ineinander geschachtelt? → Kettenregel (von aussen nach innen)

Erklärung

Potenzregel

Die wichtigste Regel. Fuer $f(x) = x^n$ mit $n \in \mathbb{R}$ gilt:

Beispiele:

$f(x)$	$f'(x)$	Erklärung
$x^5$	$5x^4$	Standard
$x^2$	$2x$	Bekannt von $f(x) = x^2$
$x^1 = x$	$1$	Steigung einer Geraden
$x^0 = 1$	$0$	Konstante, keine Änderung
$x^{-1} = \frac{1}{x}$	$-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$	Negativer Exponent
$x^{1/2} = \sqrt{x}$	$\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$	Bruch-Exponent

Faktorregel

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen:

$f(x) = c \cdot g(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x)$

Beispiel: $f(x) = 5x^3 \;\Rightarrow\; f'(x) = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$

Summenregel

Summen (und Differenzen) werden gliedweise abgeleitet:

$f(x) = g(x) + h(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) + h'(x)$

Beispiel: $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7x - 1$

$f'(x) = 12x^3 - 4x + 7$

Produktregel

Wenn $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, dann ist die Ableitung nicht einfach $u'(x) \cdot v'(x)$!

Beispiel: $f(x) = x^2 \cdot e^x$

Setze $u(x) = x^2$ und $v(x) = e^x$. Dann $u'(x) = 2x$ und $v'(x) = e^x$.

$f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2)$

Quotientenregel

Fuer $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ mit $v(x) \neq 0$:

Beispiel: $f(x) = \frac{x^2}{x + 1}$

$u(x) = x^2$, $v(x) = x + 1$, $u'(x) = 2x$, $v'(x) = 1$

$f'(x) = \frac{2x(x + 1) - x^2 \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$

Kettenregel

Die Kettenregel ist noetig, wenn eine Funktion in einer anderen steckt: $f(x) = g(h(x))$.

Beispiel 1: $f(x) = (3x + 1)^5$

Äußere Funktion: $g(u) = u^5$, innere Funktion: $h(x) = 3x + 1$

$f'(x) = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4$

Beispiel 2: $f(x) = e^{2x}$

Äußere: $g(u) = e^u$, innere: $h(x) = 2x$

$f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$

Beispiel 3: $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Uebersicht: Wichtige Ableitungen

$f(x)$	$f'(x)$	Regel
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$	Potenzregel
$e^x$	$e^x$	Spezialfall
$\ln(x)$	$\frac{1}{x}$	Spezialfall
$\sin(x)$	$\cos(x)$	Spezialfall
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	Spezialfall
$e^{kx}$	$k \cdot e^{kx}$	Kettenregel

Beispiel aus dem Alltag

Gewinnmaximierung eines Unternehmens:

Ein kleiner Betrieb verkauft handgemachte Kerzen. Der Gewinn in Abhängigkeit von der produzierten Menge $x$ (in Hundert Stück) ist:

$G(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x + 10$

Um den maximalen Gewinn zu finden, braucht man die Ableitung:

$G'(x) = -6x^2 + 30x - 24$

Die Stellen, an denen $G'(x) = 0$, sind Kandidaten fuer den maximalen Gewinn. Mit Summenregel, Faktorregel und Potenzregel war das Ableiten kein Problem.

Bevoelkerungswachstum:

Die Einwohnerzahl einer Stadt wird modelliert durch $P(t) = 50000 \cdot e^{0{,}02t}$ ($t$ in Jahren).

Die Wachstumsrate ist die Ableitung (Kettenregel):

$P'(t) = 50000 \cdot 0{,}02 \cdot e^{0{,}02t} = 1000 \cdot e^{0{,}02t}$

Nach 10 Jahren: $P'(10) = 1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1221$ Einwohner pro Jahr.

Anwendung

Aufgabe 1: Leite ab: $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 2x - 7$

Loesung: $f'(x) = 20x^4 - 9x^2 + 2$

Aufgabe 2: Leite ab: $f(x) = (2x - 3)^4$

Loesung: Kettenregel: $f'(x) = 4(2x - 3)^3 \cdot 2 = 8(2x - 3)^3$

Aufgabe 3: Leite ab: $f(x) = x^2 \cdot \ln(x)$

Loesung: Produktregel: $u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$

$f'(x) = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \cdot \ln(x) + x$

Aufgabe 4: Leite ab: $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$

Loesung: Quotientenregel: $u = e^x$, $v = x^2$, $u' = e^x$, $v' = 2x$

$f'(x) = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$

Typische Fehler

Zusammenfassung

• Die Potenzregel $f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}$ ist die Grundregel fuer alle Polynome.
• Faktorregel und Summenregel erlauben das gliedweise Ableiten von Summen mit Vorfaktoren.
• Die Produktregel $(uv)' = u'v + uv'$ gilt, wenn zwei Funktionen multipliziert werden.
• Die Quotientenregel behandelt Brueche: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Die Kettenregel $[g(h(x))]' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$ gilt fuer verschachtelte Funktionen.
• Vor dem Ableiten: Brueche und Wurzeln in Potenzschreibweise umwandeln.

Quiz

Frage 1: Leite $f(x) = 7x^4 - \frac{2}{x}$ ab. Welche Regeln brauchst du?

Schreibe um: $f(x) = 7x^4 - 2x^{-1}$. Dann Potenzregel + Faktorregel + Summenregel: $f'(x) = 28x^3 + 2x^{-2} = 28x^3 + \frac{2}{x^2}$.

Frage 2: Warum ist $(u \cdot v)' = u' \cdot v'$ falsch? Gib ein einfaches Gegenbeispiel.

Fuer $u(x) = x$ und $v(x) = x$ waere $(x \cdot x)' = x^2 \Rightarrow 2x$. Aber $u' \cdot v' = 1 \cdot 1 = 1 \neq 2x$. Richtig ist die Produktregel: $u'v + uv' = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$.

Frage 3: Leite $f(x) = e^{-3x^2}$ ab.

Kettenregel: Äußere Funktion $e^u$ mit $u = -3x^2$. Äußere Ableitung: $e^{-3x^2}$. Innere Ableitung: $-6x$. Also $f'(x) = -6x \cdot e^{-3x^2}$.

Frage 4: Leite $f(x) = \frac{x}{x+1}$ mit der Quotientenregel ab.

$u = x$, $v = x + 1$, $u' = 1$, $v' = 1$. $f'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.