Stammfunktionen bestimmen und bestimmte Integrale berechnen

Aufgabenstellung

(a) Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion $F(x)$ : (4 BE)
- (i) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$
- (ii) $f(x) = \frac{1}{x^2} + \sqrt{x}$
- (iii) $f(x) = e^{2x}$
- (iv) $f(x) = \sin(3x)$
(b) Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale: (6 BE)
- (i) $\displaystyle\int_0^2 (x^3 - 2x)\,dx$
- (ii) $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$
- (iii) $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx$

(i) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ :

$F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C$

$\boxed{F(x) = x^3 - 2x^2 + x}$

(ii) $f(x) = x^{-2} + x^{1/2}$ :

$F(x) = -x^{-1} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3}$

$\boxed{F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3}}$

(iii) $f(x) = e^{2x}$ : innere Ableitung $= 2$ , also Division:

$\boxed{F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}}$

(iv) $f(x) = \sin(3x)$ : innere Ableitung $= 3$ :

$\boxed{F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x)}$

$\int_0^2 (x^3 - 2x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - x^2\right]_0^2$

$= \left(\frac{16}{4} - 4\right) - (0 - 0) = 4 - 4 = 0$

$\boxed{\int_0^2 (x^3 - 2x)\,dx = 0}$

$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \big[\ln|x|\big]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$

$\boxed{\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1}$

$\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = \big[-\cos(x)\big]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 2$

$\boxed{\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = 2}$