Von der Geschwindigkeit zur Strecke — Integration im Sachkontext

Aufgabenstellung

Ein Radfahrer startet aus dem Stand. Seine Geschwindigkeit in den ersten $10$ Sekunden wird beschrieben durch:

$v(t) = 0{,}6\,t^2 - 0{,}02\,t^3 \quad (\text{in } \text{m/s}, \; 0 \leq t \leq 10)$

(a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit nach $5$ Sekunden und nach $10$ Sekunden. (2 BE)
(b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Geschwindigkeit und ihren Wert. (3 BE)
(c) Berechnen Sie die in den ersten $10$ Sekunden zurückgelegte Strecke. (3 BE)
(d) Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit in diesem Zeitintervall. (2 BE)

$v(5) = 0{,}6 \cdot 25 - 0{,}02 \cdot 125 = 15 - 2{,}5 = 12{,}5\,\text{m/s}$

$v(10) = 0{,}6 \cdot 100 - 0{,}02 \cdot 1000 = 60 - 20 = 40\,\text{m/s}$

$\boxed{v(5) = 12{,}5\,\text{m/s}, \quad v(10) = 40\,\text{m/s}}$

$v'(t) = 1{,}2\,t - 0{,}06\,t^2 = t(1{,}2 - 0{,}06\,t)$

Notwendige Bedingung: $v'(t) = 0$ :

$t_1 = 0, \quad t_2 = \frac{1{,}2}{0{,}06} = 20$

Da $t_2 = 20$ außerhalb des Intervalls $[0;\; 10]$ liegt, untersuchen wir die Randwerte und prüfen, ob $v'(t) > 0$ im gesamten Intervall:

$v'(t) = t(1{,}2 - 0{,}06t) > 0 \text{ für } 0 < t < 20$

Also ist $v$ auf $[0;\; 10]$ streng monoton steigend. Das Maximum liegt am rechten Rand:

$\boxed{v_{\max} = v(10) = 40\,\text{m/s} \text{ bei } t = 10\,\text{s}}$

$s = \int_0^{10} v(t)\,dt = \int_0^{10} (0{,}6\,t^2 - 0{,}02\,t^3)\,dt$

$= \left[0{,}2\,t^3 - 0{,}005\,t^4\right]_0^{10}$

$= 0{,}2 \cdot 1000 - 0{,}005 \cdot 10000 = 200 - 50 = 150$

$\boxed{s = 150\,\text{m}}$

$\bar{v} = \frac{1}{10 - 0} \int_0^{10} v(t)\,dt = \frac{150}{10} = 15\,\text{m/s}$

$\boxed{\bar{v} = 15\,\text{m/s} = 54\,\text{km/h}}$