Vektoren — Grundlagen

Einführung

Wie beschreibt ein Navi den Weg von deinem Standort zum nächsten Supermarkt? Es reicht nicht zu sagen „500 Meter” — du brauchst auch die Richtung. Genau diese Kombination aus Betrag und Richtung ist ein Vektor. Vektoren sind das zentrale Werkzeug der analytischen Geometrie und bilden die Grundlage für alles, was im dreidimensionalen Raum passiert — von GPS-Navigation über 3D-Spiele bis zur Physik.

In dieser Lektion lernst du, was Vektoren sind, wie du mit ihnen rechnest und warum sie so viel mächtiger sind als einfache Zahlen.

Grundidee

Stell dir vor, du spielst ein 3D-Computerspiel. Deine Spielfigur steht an einem Punkt im Raum, und du willst sie bewegen — 3 Schritte nach rechts, 2 nach vorne und 1 nach oben. Diese Anweisung ist ein Vektor:

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Die drei Zahlen beschreiben, wie weit du dich in jede der drei Raumrichtungen bewegst. Ein Vektor ist also nichts anderes als eine Verschiebung mit Richtung und Länge.

Vergleich mit einer normalen Zahl (Skalar): Die Zahl $5$ sagt dir nur „wie viel”. Der Vektor $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ sagt dir „wie viel in welche Richtung”.

GPS-Koordinaten funktionieren ähnlich: Jeder Ort auf der Erde wird durch drei Zahlen beschrieben (Längengrad, Breitengrad, Höhe). Der Weg von einem Ort zum anderen ist ein Vektor.

Erklärung

Darstellung eines Vektors

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ wird als Spalte geschrieben:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$

Die Zahlen $a_1$, $a_2$, $a_3$ heißen Komponenten (oder Koordinaten) des Vektors.

Ortsvektor und Verbindungsvektor

Der Ortsvektor $\vec{r}_P$ eines Punktes $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ zeigt vom Ursprung $O(0 \mid 0 \mid 0)$ zum Punkt $P$:

$\vec{r}_P = \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}$

Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ berechnet sich als:

$\overrightarrow{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{pmatrix}$

Addition und Subtraktion

Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert — das entspricht dem Hintereinanderausführen zweier Verschiebungen:

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}$

Geometrisch: Du hängst den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten. Die Subtraktion $\vec{a} - \vec{b}$ bedeutet Addition des Gegenvektors $-\vec{b}$.

Skalarmultiplikation

Ein Vektor kann mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert werden:

$r \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ r \cdot a_3 \end{pmatrix}$

• $r > 1$: Der Vektor wird gestreckt (gleiche Richtung, länger)
• $0 < r < 1$: Der Vektor wird gestaucht (gleiche Richtung, kürzer)
• $r < 0$: Der Vektor zeigt in die Gegenrichtung
• $r = 0$: Es entsteht der Nullvektor $\vec{0}$

Betrag eines Vektors

Der Betrag (die Länge) eines Vektors berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras — im Dreidimensionalen zweimal angewandt:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ hat den Betrag $|\vec{a}| = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor hat den Betrag $1$. Er zeigt die reine Richtung ohne Längeninformation. Du berechnest ihn, indem du einen Vektor durch seinen Betrag teilst:

$\vec{a}_0 = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$

Beispiel: Einheitsvektor in Richtung von $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$:

$\vec{a}_0 = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix}$

Kollineare Vektoren

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ heißen kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:

$\vec{b} = r \cdot \vec{a} \quad \text{für ein } r \in \mathbb{R}$

Kollineare Vektoren zeigen in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung.

Beispiel aus dem Alltag

3D-Spieleentwicklung:

Ein Charakter steht bei $A(2 \mid 3 \mid 0)$ und soll sich zu $B(8 \mid 7 \mid 2)$ bewegen. Der Bewegungsvektor ist:

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 8-2 \\ 7-3 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Die Entfernung beträgt $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} \approx 7{,}48$ Einheiten.

Der Charakter läuft mit Geschwindigkeit $1$ pro Frame. Die Richtung pro Frame (Einheitsvektor):

$\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{56}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0{,}80 \\ 0{,}53 \\ 0{,}27 \end{pmatrix}$

Architektur — Kräfte am Dachstuhl:

Zwei Dachbalken üben Kräfte aus: $\vec{F}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$ kN und $\vec{F}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$ kN. Die resultierende Kraft ist:

$\vec{F}_{ges} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \text{ kN}$

Die horizontalen Komponenten heben sich auf — die Last drückt senkrecht nach unten.

Anwendung

Aufgabe 1: Gegeben sind $A(1 \mid 3 \mid 5)$ und $B(4 \mid 1 \mid 2)$. Berechne $\overrightarrow{AB}$ und $|\overrightarrow{AB}|$.

Lösung: $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$. Betrag: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22} \approx 4{,}69$.

Aufgabe 2: Berechne $2\vec{a} - 3\vec{b}$ für $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Lösung: $2\vec{a} - 3\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -4 \\ 11 \end{pmatrix}$.

Aufgabe 3: Bestimme den Einheitsvektor in Richtung von $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Lösung: $|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. Einheitsvektor: $\vec{v}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$.

Aufgabe 4: Prüfe, ob $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ kollinear sind.

Lösung: $\vec{a} = -2 \cdot \vec{b}$, denn $2 = -2 \cdot (-1)$, $-6 = -2 \cdot 3$, $4 = -2 \cdot (-2)$. Die Vektoren sind kollinear (antiparallel).

Typische Fehler

Zusammenfassung

Merke dir:

• Ein Vektor hat Richtung und Betrag — im Gegensatz zu einem Skalar, der nur eine Zahl ist
• Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zum Punkt; der Verbindungsvektor ist Spitze minus Fuß ($\overrightarrow{AB} = B - A$)
• Addition entspricht dem Hintereinanderausführen von Verschiebungen
• Skalarmultiplikation streckt, staucht oder kehrt die Richtung eines Vektors um
• Der Betrag $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ ist die Länge — zugleich der Abstand zweier Punkte
• Der Einheitsvektor $\vec{a}_0 = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ gibt die reine Richtung an

Quiz

Frage 1: Berechne den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ und den Abstand für $A(2 \mid 1 \mid 3)$ und $B(5 \mid 5 \mid 3)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$. Abstand: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5$.

Frage 2: Was ergibt $\vec{a} + \vec{b}$ für $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$? Wie nennt man $\vec{b}$ in Bezug auf $\vec{a}$?

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}$. $\vec{b}$ ist der Gegenvektor von $\vec{a}$, also $\vec{b} = -\vec{a}$.

Frage 3: Ein Flugzeug fliegt mit dem Geschwindigkeitsvektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 200 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}$ km/h. Seitenwind addiert $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 50 \\ 0 \end{pmatrix}$ km/h. Wie schnell ist das Flugzeug tatsaechlich (Betrag der Gesamtgeschwindigkeit)?

$\vec{v}_{ges} = \begin{pmatrix} 200 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix}$. Betrag: $|\vec{v}_{ges}| = \sqrt{40\,000 + 2\,500 + 100} = \sqrt{42\,600} \approx 206{,}5$ km/h.

Frage 4: Bestimme den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ mit $A(1 \mid 3 \mid 7)$ und $B(5 \mid 1 \mid 3)$ mithilfe von Vektoren.

Der Mittelpunkt hat den Ortsvektor $\vec{r}_M = \frac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_B) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$. Also $M(3 \mid 2 \mid 5)$.