Schwerpunkt und Mittelpunkt mit Vektoren

Aufgabenstellung

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(1 \mid 2 \mid 3)$, $B(5 \mid -2 \mid 1)$ und $C(3 \mid 4 \mid -1)$.

• (a) Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks. (3 BE)
• (b) Bestimmen Sie den Mittelpunkt $M$ der Seite $\overline{AB}$. (2 BE)
• (c) Berechnen Sie den Schwerpunkt $S$ des Dreiecks. (2 BE)
• (d) Zeigen Sie, dass der Schwerpunkt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2:1$ (vom Eckpunkt aus) teilt, indem Sie dies für die Seitenhalbierende von $C$ nach $M$ nachweisen. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Seitenlängen (a)

$\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{16+16+4} = \sqrt{36} = 6$

$\overrightarrow{BC} = C - B = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{4+36+4} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$

$\overrightarrow{CA} = A - C = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

$\boxed{|\overline{AB}| = 6, \quad |\overline{BC}| = 2\sqrt{11} \approx 6{,}63, \quad |\overline{CA}| = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90}$

Schritt 2: Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$ (b)

$M = \frac{A + B}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+5 \\ 2+(-2) \\ 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\boxed{M(3 \mid 0 \mid 2)}$

Schritt 3: Schwerpunkt $S$ (c)

$S = \frac{A + B + C}{3} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1+5+3 \\ 2+(-2)+4 \\ 3+1+(-1) \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 9 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{4}{3} \\ 1 \end{pmatrix}$

$\boxed{S\!\left(3 \;\middle|\; \tfrac{4}{3} \;\middle|\; 1\right)}$

Schritt 4: Teilungsverhältnis nachweisen (d)

Die Seitenhalbierende von $C$ nach $M$: Parametrisierung $P(t) = C + t \cdot (M - C)$.

$\overrightarrow{CM} = M - C = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

Der Schwerpunkt teilt im Verhältnis $2:1$, also bei $t = \frac{2}{3}$:

$P\!\left(\tfrac{2}{3}\right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{2}{3}\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 - \frac{8}{3} \\ -1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{4}{3} \\ 1 \end{pmatrix} = S \; \checkmark$

$\boxed{S = C + \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{CM} \quad \Rightarrow \quad \text{Teilungsverhältnis } 2:1 \text{ bestätigt.}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
$\lvert\overline{AB}\rvert$	$6$
$\lvert\overline{BC}\rvert$	$2\sqrt{11} \approx 6{,}63$
$\lvert\overline{CA}\rvert$	$2\sqrt{6} \approx 4{,}90$
Mittelpunkt $M$	$(3 \mid 0 \mid 2)$
Schwerpunkt $S$	$(3 \mid \frac{4}{3} \mid 1)$
Teilungsverhältnis	$2:1$ vom Eckpunkt aus