Vektoroperationen und Betrag berechnen

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$.

• (a) Berechnen Sie $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{c}$ und $3\vec{a} - 2\vec{b}$. (3 BE)
• (b) Bestimmen Sie $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ und $|\vec{a} - \vec{b}|$. (3 BE)
• (c) Bestimmen Sie den Einheitsvektor $\vec{a}_0$ in Richtung von $\vec{a}$. (2 BE)
• (d) Für welchen Wert von $t$ sind $\vec{a}$ und $\vec{d} = \begin{pmatrix} 6 \\ t \\ 9 \end{pmatrix}$ kollinear? (2 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Vektoroperationen (a)

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 2+(-4) \\ -1+2 \\ 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\vec{a} - \vec{c} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ -1-5 \\ 3-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}$

$3\vec{a} - 2\vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\boxed{\vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{a}-\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad 3\vec{a}-2\vec{b} = \begin{pmatrix} 14 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix}}$

Schritt 2: Beträge (b)

$|\vec{a}| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3{,}742$

$|\vec{b}| = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} \approx 4{,}583$

$\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad |\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{14}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{21}, \quad |\vec{a}-\vec{b}| = 7}$

Schritt 3: Einheitsvektor (c)

$\vec{a}_0 = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\boxed{\vec{a}_0 = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0{,}535 \\ -0{,}267 \\ 0{,}802 \end{pmatrix}}$

Schritt 4: Kollinearität (d)

$\vec{a}$ und $\vec{d}$ sind kollinear, wenn $\vec{d} = k \cdot \vec{a}$ für ein $k \in \mathbb{R}$.

Aus der ersten Komponente: $6 = k \cdot 2 \Rightarrow k = 3$.

Kontrolle dritte Komponente: $k \cdot 3 = 9$ ✓

Zweite Komponente: $t = k \cdot (-1) = -3$.

$\boxed{t = -3}$

Ergebnis

Frage	Antwort
$\vec{a} + \vec{b}$	$(-2;\; 1;\; 4)^\top$
$\vec{a} - \vec{c}$	$(1;\; -6;\; 5)^\top$
$3\vec{a} - 2\vec{b}$	$(14;\; -7;\; 7)^\top$
$\lvert\vec{a}\rvert$	$\sqrt{14} \approx 3{,}74$
$\lvert\vec{a}-\vec{b}\rvert$	$7$
Einheitsvektor $\vec{a}_0$	$\frac{1}{\sqrt{14}}(2;\;-1;\;3)^\top$
Kollinearität: $t$	$-3$