Skalarprodukt und Kreuzprodukt

Einführung

Zwei Straßen kreuzen sich — in welchem Winkel? Ein Dach hat zwei Flächen — wie groß ist der Neigungswinkel? Ein Schatten fällt auf den Boden — wie lang ist er? All diese Fragen beantworten sich mit einem einzigen Werkzeug: dem Skalarprodukt. Es verbindet zwei Vektoren zu einer Zahl und verrät dabei alles über den Winkel zwischen ihnen.

Zusammen mit dem Kreuzprodukt bildet es das Herzstück der analytischen Geometrie — fast jede Abi-Aufgabe zu Winkeln, Abständen und Flächen nützt eines von beiden.

Grundidee

Stell dir vor, du ziehst einen Schlitten mit einem Seil. Das Seil zeigt schräg nach oben, aber der Schlitten bewegt sich nur horizontal vorwärts. Nicht deine gesamte Kraft wirkt — nur der Teil, der in Bewegungsrichtung zeigt.

Genau das berechnet das Skalarprodukt: Wie stark wirken zwei Vektoren in die gleiche Richtung zusammen?

• Zeigen beide in die gleiche Richtung → maximale Zusammenwirkung (positives Ergebnis)
• Stehen sie senkrecht aufeinander → keine Zusammenwirkung (Ergebnis = 0)
• Zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen → sie arbeiten gegeneinander (negatives Ergebnis)

In der Physik ist das die Formel für Arbeit: $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$ — nur die Kraftkomponente in Bewegungsrichtung leistet Arbeit. Beim Schlittenziehen ist das die horizontale Komponente deiner Zugkraft.

Erklärung

Definition des Skalarprodukts

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist eine Zahl (ein Skalar):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Du multiplizierst die Komponenten paarweise und addierst die Ergebnisse.

Beispiel:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot 5 = 8 - 3 - 5 = 0$

Das Ergebnis $0$ bedeutet: Diese Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Winkelberechnung

Der Winkel $\varphi$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnet sich über:

$\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Beispiel: Winkel zwischen $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$:

$\cos \varphi = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \varphi = 45°$

Orthogonalität

Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), genau dann wenn:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Projektion eines Vektors

Die orthogonale Projektion von $\vec{b}$ auf $\vec{a}$ ergibt den Anteil von $\vec{b}$, der in Richtung $\vec{a}$ zeigt:

Länge der Projektion (Skalar):

$|\vec{b}_a| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$

Projektionsvektor:

$\vec{b}_a = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a}$

Beispiel — Schattenlänge: Ein Stab wird durch $\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ beschrieben (3 m senkrecht). Die Sonnenstrahlen kommen aus Richtung $\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$. Die Projektion des Stabes auf den Boden (Richtung $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$) ergibt die Schattenlänge.

Spezialfälle des Skalarprodukts

Winkel	$\cos \varphi$	$\vec{a} \cdot \vec{b}$	Bedeutung
$0°$	$1$	$= \lvert\vec{a}\rvert \cdot \lvert\vec{b}\rvert$	gleichgerichtet
$90°$	$0$	$= 0$	orthogonal
$180°$	$-1$	$= -\lvert\vec{a}\rvert \cdot \lvert\vec{b}\rvert$	entgegengesetzt

Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

Das Kreuzprodukt liefert keinen Skalar, sondern einen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

Beispiel:

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Das Ergebnis zeigt in $x_3$-Richtung — senkrecht auf $x_1$- und $x_2$-Achse.

Anwendungen des Kreuzprodukts

Normalenvektor einer Ebene: Hast du zwei Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$, liefert $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ den Normalenvektor.

Flächeninhalt eines Parallelogramms:

$A = |\vec{a} \times \vec{b}|$

Flächeninhalt eines Dreiecks (halb so groß):

$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \, |\vec{a} \times \vec{b}|$

Beispiel aus dem Alltag

Dachneigung berechnen:

Zwei Dachflächen stoßen am First zusammen. Die eine Fläche hat den Normalenvektor $\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ (leicht nach links geneigt), die andere $\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ (leicht nach rechts geneigt).

Der Winkel zwischen den Normalenvektoren entspricht dem Winkel zwischen den Flächen:

$\cos \varphi = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{0 + (-1) + 4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{5} = 0{,}6$

$\varphi = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}1°$

Das Dach hat einen Firstwinkel von ca. $53°$.

Grundstücksfläche per GPS:

Drei Eckpunkte eines dreieckigen Grundstücks: $A(0 \mid 0 \mid 0)$, $B(30 \mid 0 \mid 0)$, $C(10 \mid 20 \mid 0)$ (in Metern).

$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 600 \end{pmatrix}$

$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{u} \times \vec{v}| = \frac{1}{2} \cdot 600 = 300 \text{ m}^2$

Anwendung

Aufgabe 1: Berechne das Skalarprodukt von $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$. Sind die Vektoren orthogonal?

Lösung: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 - 8 + 2 = -3 \neq 0$. Nicht orthogonal.

Aufgabe 2: Berechne den Winkel zwischen $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Lösung: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 + 1 + 0 = 1$. $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$. $\cos \varphi = \frac{1}{2}$. Also $\varphi = 60°$.

Aufgabe 3: Berechne $\vec{a} \times \vec{b}$ für $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Lösung: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3 \\ (-1) \cdot 1 - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix}$

Probe: $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 10 - 5 - 5 = 0$ ✓ (senkrecht auf $\vec{a}$).

Aufgabe 4: Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten $A(1 \mid 0 \mid 0)$, $B(0 \mid 2 \mid 0)$, $C(0 \mid 0 \mid 3)$.

Lösung: $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$. $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$. $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7$. $A_\triangle = \frac{7}{2} = 3{,}5$ FE.

Typische Fehler

Zusammenfassung

Merke dir:

• Das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$ liefert eine Zahl und misst die „Zusammenwirkung” zweier Vektoren
• Der Winkel folgt aus $\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ — die wichtigste Formel für Winkelaufgaben
• Orthogonalität (Senkrechtstehen) erkennst du am Skalarprodukt $= 0$
• Die Projektion von $\vec{b}$ auf $\vec{a}$ liefert den Anteil in Richtung $\vec{a}$
• Das Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ erzeugt einen Vektor senkrecht auf beiden — ideal für Normalenvektoren
• Flächenberechnung: Parallelogramm $= |\vec{a} \times \vec{b}|$, Dreieck $= \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$

Quiz

Frage 1: Berechne den Winkel zwischen $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. Da das Skalarprodukt $0$ ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander: $\varphi = 90°$.

Frage 2: Fuer welchen Wert von $k$ stehen $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ k \\ -1 \end{pmatrix}$ senkrecht aufeinander?

Bedingung: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Also $2 \cdot 1 + (-1) \cdot k + 3 \cdot (-1) = 0$, d.h. $2 - k - 3 = 0$, also $k = -1$.

Frage 3: Berechne das Kreuzprodukt $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ und deute das Ergebnis geometrisch.

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$. Dieser Vektor steht senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und ist ein Normalenvektor der Ebene, die von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird. Der Betrag $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ ist der Flaecheninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Frage 4: Ein Dreieck hat die Eckpunkte $A(0 \mid 0 \mid 0)$, $B(4 \mid 0 \mid 0)$ und $C(0 \mid 3 \mid 0)$. Berechne den Flaecheninhalt mit dem Kreuzprodukt und prüfe das Ergebnis mit der Schulformel $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}$. $A_\triangle = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ FE. Probe: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ FE. Stimmt.