Abstand eines Punktes von einer Ebene

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Ebene $E\colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 10$ und die Punkte $P(4 \mid 1 \mid 3)$ und $Q(1 \mid -1 \mid 0)$.

• (a) Bestimmen Sie den Normaleneinheitsvektor $\vec{n}_0$ der Ebene $E$. (2 BE)
• (b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$ mithilfe der Hesseschen Normalform. (3 BE)
• (c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $Q$ von der Ebene $E$. Liegen $P$ und $Q$ auf derselben Seite der Ebene? (3 BE)
• (d) Bestimmen Sie den Fußpunkt $F$ des Lots von $P$ auf $E$. (2 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Normaleneinheitsvektor (a)

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad |\vec{n}| = \sqrt{4+1+4} = 3$

$\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\boxed{\vec{n}_0 = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}}$

Schritt 2: Abstand von $P$ (b)

Hessesche Normalform: $d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{p} - d_0|}{|\vec{n}|}$ mit $d_0 = 10$.

$\vec{n} \cdot \vec{p} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 8 - 1 + 6 = 13$

$d(P, E) = \frac{|13 - 10|}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$\boxed{d(P, E) = 1}$

Schritt 3: Abstand von $Q$ und Seitenvergleich (c)

$\vec{n} \cdot \vec{q} = 2 \cdot 1 + (-1)(-1) + 2 \cdot 0 = 2 + 1 + 0 = 3$

$d(Q, E) = \frac{|3 - 10|}{3} = \frac{7}{3}$

$\boxed{d(Q, E) = \frac{7}{3} \approx 2{,}33}$

Seitenvergleich: Für $P$: $\vec{n} \cdot \vec{p} - 10 = 3 > 0$. Für $Q$: $\vec{n} \cdot \vec{q} - 10 = -7 < 0$.

$\boxed{P \text{ und } Q \text{ liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene.}}$

Schritt 4: Fußpunkt des Lots (d)

Der Fußpunkt $F$ ergibt sich, indem man von $P$ in Richtung $-\vec{n}_0$ den Abstand $d = 1$ geht:

Da $\vec{n} \cdot \vec{p} - 10 = 3 > 0$, liegt $P$ auf der Seite, in die $\vec{n}$ zeigt. Also:

$F = P - d \cdot \vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - 1 \cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \frac{2}{3} \\ 1 + \frac{1}{3} \\ 3 - \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{4}{3} \\ \frac{7}{3} \end{pmatrix}$

Probe: $2 \cdot \frac{10}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{7}{3} = \frac{20-4+14}{3} = \frac{30}{3} = 10$ ✓

$\boxed{F\!\left(\tfrac{10}{3} \;\middle|\; \tfrac{4}{3} \;\middle|\; \tfrac{7}{3}\right)}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Normaleneinheitsvektor $\vec{n}_0$	$\frac{1}{3}(2;\;-1;\;2)^\top$
Abstand $d(P, E)$	$1$
Abstand $d(Q, E)$	$\frac{7}{3} \approx 2{,}33$
Gleiche Seite?	Nein (verschiedene Seiten)
Fußpunkt $F$	$\left(\frac{10}{3} \mid \frac{4}{3} \mid \frac{7}{3}\right)$