Winkel im Dreieck mit dem Skalarprodukt berechnen

Aufgabenstellung

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(1 \mid 0 \mid 2)$, $B(3 \mid 1 \mid 0)$ und $C(0 \mid 4 \mid 1)$.

• (a) Berechnen Sie die Innenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ des Dreiecks. (6 BE)
• (b) Prüfen Sie die Winkelsumme. (1 BE)
• (c) Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks mithilfe des Kreuzprodukts. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Seitenvektoren aufstellen

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

Schritt 2: Winkel $\alpha$ bei $A$ (a)

$\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -2 + 4 + 2 = 4$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4+1+4} = 3, \quad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1+16+1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\cos(\alpha) = \frac{4}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{4}{9\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{18} = \frac{2\sqrt{2}}{9}$

$\boxed{\alpha = \arccos\!\left(\frac{2\sqrt{2}}{9}\right) \approx 71{,}7°}$

Schritt 3: Winkel $\beta$ bei $B$ und $\gamma$ bei $C$ (a)

Winkel $\beta$:

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 6 - 3 + 2 = 5$

$|\overrightarrow{BA}| = 3, \quad |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{9+9+1} = \sqrt{19}$

$\cos(\beta) = \frac{5}{3\sqrt{19}}$

$\boxed{\beta = \arccos\!\left(\frac{5}{3\sqrt{19}}\right) \approx 67{,}6°}$

Winkel $\gamma$:

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 3 + 12 - 1 = 14$

$|\overrightarrow{CA}| = 3\sqrt{2}, \quad |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{19}$

$\cos(\gamma) = \frac{14}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{19}} = \frac{14}{3\sqrt{38}}$

$\boxed{\gamma = \arccos\!\left(\frac{14}{3\sqrt{38}}\right) \approx 40{,}7°}$

Schritt 4: Winkelsumme und Fläche (b, c)

Winkelsumme: $71{,}7° + 67{,}6° + 40{,}7° = 180{,}0°$ ✓

Fläche mit Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 4 \\ (-2)(-1) - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 4 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+8 \\ 2+2 \\ 8+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{49+16+81} = \sqrt{146}$

$A_{\triangle} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{\sqrt{146}}{2} \approx 6{,}04\,\text{FE}$

$\boxed{A_{\triangle} = \frac{\sqrt{146}}{2} \approx 6{,}04\,\text{FE}}$

Ergebnis

Winkel	Wert
$\alpha$ (bei $A$)	$\approx 71{,}7°$
$\beta$ (bei $B$)	$\approx 67{,}6°$
$\gamma$ (bei $C$)	$\approx 40{,}7°$
Winkelsumme	$180°$ ✓
Dreiecksfläche	$\frac{\sqrt{146}}{2} \approx 6{,}04\,\text{FE}$