Lineare Gleichungssysteme — Mehrere Unbekannte, mehrere Gleichungen

Einführung

Du kaufst zwei Sorten Kaffee. Du weißt, wie viel du insgesamt ausgibst und wie viel Gewicht du insgesamt kaufst. Wie viel von jeder Sorte ist es? Diese Frage führt direkt auf ein lineares Gleichungssystem — kurz: LGS.

Sobald mehrere Unbekannte miteinander verknüpft sind, reicht eine einzige Gleichung nicht mehr. Du brauchst so viele Gleichungen, wie du Unbekannte hast. LGS begegnen dir in der Physik (Ströme in Netzwerken), der Wirtschaft (Produktionsplanung) und der Geometrie (Schnittpunkte von Geraden und Ebenen).

Grundidee

Jede lineare Gleichung mit zwei Unbekannten beschreibt eine Gerade in der Ebene. Zwei solche Gleichungen beschreiben zwei Geraden. Die Lösung des Systems ist der Schnittpunkt der beiden Geraden — falls er existiert.

Drei Fälle sind möglich:

Die Geraden schneiden sich in einem Punkt → genau eine Lösung
Die Geraden sind parallel (aber nicht identisch) → keine Lösung
Die Geraden sind identisch → unendlich viele Lösungen

Im Raum (drei Unbekannte) beschreibt jede Gleichung eine Ebene. Das System beschreibt, wo sich mehrere Ebenen treffen.

Erklärung

Das 2×2-System

Ein System mit zwei Unbekannten $x$ und $y$ hat die Form:

$a_1 x + b_1 y = c_1$ $a_2 x + b_2 y = c_2$

Lösungsverfahren — Gleichsetzung:

Beide Gleichungen nach derselben Variable umstellen (z. B. nach $y$ )
Die rechten Seiten gleichsetzen
Lösen — eine Variable bestimmen
Einsetzen — zweite Variable berechnen

Lösungsverfahren — Substitution:

Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
In die andere Gleichung einsetzen
Lösen und zurücksubstituieren

Beispiel:

$I: \quad x + y = 5$ $II: \quad 2x - y = 4$

Addition von I und II: $3x = 9$ , also $x = 3$ . Einsetzen in I: $y = 2$ .

Lösung: $x = 3$ , $y = 2$ .

Das 3×3-System und der Gauß-Algorithmus

Bei drei Unbekannten wird Gleichsetzung unübersichtlich. Der Gauß-Algorithmus ist systematischer: Durch gezielte Addition von Vielfachen der Gleichungen bringt man das System auf Dreiecksform und liest die Lösungen von unten nach oben ab.

Gauß-Algorithmus — das Standardverfahren für LGS

Schritt für Schritt eliminierst du Variablen: Erst $x$ aus allen außer der ersten Gleichung, dann $y$ aus allen außer den ersten beiden. Das Ergebnis ist ein Dreieckssystem, das du von unten nach oben auflöst.

Lösungsmengen

Situation	Geometrie	Lösungsmenge
Eindeutige Lösung	Geraden schneiden sich / Ebenen in einem Punkt	$\mathbb{L} = \{(x_0, y_0)\}$
Keine Lösung	Geraden/Ebenen parallel, kein gemeinsamer Punkt	$\mathbb{L} = \emptyset$
Unendlich viele	Geraden/Ebenen identisch oder in Schnittgerade	$\mathbb{L}$ = Parametermenge

Beim Gauß-Algorithmus erkennst du den Fall:

Widerspruch (z. B. $0 = 5$ ) → keine Lösung
Nullzeile (z. B. $0 = 0$ ) → unendlich viele Lösungen

Ausblick: Matrixschreibweise

Das LGS lässt sich kompakt als Matrixgleichung schreiben:

$A\vec{x} = \vec{b}, \quad \text{z. B.} \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

Diese Schreibweise ist der Einstieg in die Matrizenrechnung — das Lösen von $A\vec{x} = \vec{b}$ mit der inversen Matrix $A^{-1}$ .

Beispiel aus dem Alltag

Mischungsaufgabe: Ein Händler mischt Nüsse der Sorte A (8 €/kg) mit Sorte B (12 €/kg). Er möchte 10 kg Mischung für 9 €/kg erhalten.

Sei $x$ die Menge von A und $y$ die Menge von B (in kg):

$I: \quad x + y = 10$ $II: \quad 8x + 12y = 90$

Aus I: $x = 10 - y$ . Einsetzen in II: $8(10-y) + 12y = 90$ , also $80 + 4y = 90$ , also $y = 2{,}5$ .

Damit: $x = 7{,}5$ . Die Mischung besteht aus 7,5 kg Sorte A und 2,5 kg Sorte B.

Stromkreis (Kirchhoff): An einem Knotenpunkt gilt: Zufließende Ströme = abfließende Ströme. In einem Netzwerk mit drei Maschen entstehen drei Gleichungen mit drei unbekannten Strömen — ein klassisches 3×3-LGS.

Anwendung

Aufgabe 1: Löse das folgende LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren:

$I: \quad 3x + 2y = 12$ $II: \quad x - y = 1$

Lösung: Aus II: $x = 1 + y$ . Einsetzen in I: $3(1+y) + 2y = 12$ , also $5y = 9$ , $y = 1{,}8$ , $x = 2{,}8$ .

Aufgabe 2: Stelle für folgende Situation ein LGS auf: Eine Schule kauft Mathematik- und Physikbücher. Mathe kostet 25 €, Physik 30 €. Insgesamt werden 40 Bücher für 1100 € bestellt. Wie viele Bücher von jeder Sorte?

Lösung: Sei $m$ = Mathe, $p$ = Physik. I: $m + p = 40$ . II: $25m + 30p = 1100$ . Aus I: $m = 40 - p$ . II: $25(40-p) + 30p = 1100 \Rightarrow 1000 + 5p = 1100 \Rightarrow p = 20$ , $m = 20$ .

Typische Fehler

Häufiger Irrtum

Zusammenfassung

Merke dir:

Ein LGS mit $n$ Unbekannten braucht $n$ Gleichungen für eine eindeutige Lösung
Geometrisch: 2 Gleichungen = 2 Geraden, 3 Gleichungen = 3 Ebenen — die Lösung ist ihr Schnittpunkt
Es gibt genau drei Fälle: eindeutige Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen
Der Gauß-Algorithmus bringt das System durch Zeilenoperationen auf Dreiecksform
Widerspruchszeile ( $0 = c \neq 0$ ) bedeutet keine Lösung, Nullzeile ( $0 = 0$ ) bedeutet unendlich viele
LGS modellieren Mischungen, Produktionsplanung, Ströme in Netzwerken und Geradenprobleme

Quiz

Frage 1: Was bedeutet es geometrisch, wenn ein 2×2-LGS die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \emptyset$ hat?

Frage 2: Löse das LGS $I: 2x + y = 7$ und $II: x - 3y = -7$ mit dem Substitutionsverfahren.

Frage 3: Du wendest den Gauß-Algorithmus an und erhältst in einer Zeile $0 = 0$ . Was folgt daraus?

Frage 4: Eine Firma produziert Produkt A mit 4 € Gewinn und Produkt B mit 6 € Gewinn. Insgesamt werden 100 Stück produziert und 520 € Gewinn erzielt. Wie viele Stück von jedem?