LGS in der Praxis — Mischung, Netzwerk, Produktion

Aufgabenstellung

Ausgangspunkt

Lineare Gleichungssysteme modellieren viele praktische Probleme: Mischungsverhältnisse in der Lebensmittelbranche, Kapazitätsplanung in der Produktion und Flüsse in technischen Netzwerken lassen sich alle als LGS formulieren und lösen.

Aufgaben

• (a) Ein Röster mischt zwei Kaffeesorten: Sorte A kostet 12 €/kg, Sorte B kostet 18 €/kg. Die Mischung soll genau 5 kg ergeben und einen Preis von 15 €/kg haben. Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und löse es. (4 BE)

• (b) Eine Firma stellt zwei Produkte her. Produkt A benötigt 2 Stunden Maschinenzeit und 3 Stunden Arbeitszeit. Produkt B benötigt 3 Stunden Maschinenzeit und 1 Stunde Arbeitszeit. Pro Woche stehen 240 Stunden Maschinenzeit und 180 Stunden Arbeitszeit zur Verfügung. Wie viele Einheiten von A und B können maximal hergestellt werden, wenn alle Kapazitäten vollständig genutzt werden? (4 BE)

• (c) In einem Netzwerk mit drei Knoten fließen Ströme $x_1$, $x_2$, $x_3$ (in Ampere). An Knoten 1 gilt: $x_1 = x_2 + 2$. An Knoten 2 gilt: $x_2 + x_3 = 5$. An Knoten 3 gilt: $x_1 + x_3 = 7$. Stelle das LGS auf, löse es und beurteile, ob die Lösung eindeutig ist. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Mischungsaufgabe (a)

Sei $x$ die Menge von Sorte A und $y$ die Menge von Sorte B (in kg).

Gleichung 1 — Gesamtgewicht: $x + y = 5$

Gleichung 2 — Gesamtpreis (Preis der Mischung = 5 kg × 15 €/kg = 75 €): $12x + 18y = 75$

Lösung durch Substitution:

Aus Gleichung 1: $x = 5 - y$. Einsetzen in Gleichung 2:

$12(5 - y) + 18y = 75$ $60 - 12y + 18y = 75$ $6y = 15$ $y = 2{,}5$

Aus Gleichung 1: $x = 5 - 2{,}5 = 2{,}5$.

Probe: $12 \cdot 2{,}5 + 18 \cdot 2{,}5 = 30 + 45 = 75$ € ✓

Schritt 2: Produktionsplanung (b)

Sei $a$ die Anzahl der Einheiten von Produkt A und $b$ die Anzahl von Produkt B.

Gleichung 1 — Maschinenzeit: $2a + 3b = 240$

Gleichung 2 — Arbeitszeit: $3a + b = 180$

Lösung durch Gleichsetzung:

Aus Gleichung 2: $b = 180 - 3a$. Einsetzen in Gleichung 1:

$2a + 3(180 - 3a) = 240$ $2a + 540 - 9a = 240$ $-7a = -300$ $a = \frac{300}{7} \approx 42{,}86$

Da Einheiten ganzzahlig sein müssen, prüfen wir $a = 42$:

$b = 180 - 3 \cdot 42 = 180 - 126 = 54$

Kapazitätsprüfung bei $a = 42$, $b = 54$:

• Maschinenzeit: $2 \cdot 42 + 3 \cdot 54 = 84 + 162 = 246 > 240$ — Überschreitung!

Prüfe $a = 42$, $b = 52$: Maschinenzeit: $84 + 156 = 240$ ✓, Arbeitszeit: $126 + 52 = 178 \leq 180$ ✓.

Alternativ (exakte LGS-Lösung): $a = \frac{300}{7} \approx 42{,}9$, $b = \frac{600}{7} \approx 85{,}7$ — im Modell ohne Ganzzahlbedingung.

Hinweis: Das exakte LGS ergibt keine ganzzahligen Werte. Bei vollständiger Kapazitätsauslastung und Ganzzahlbedingung lautet die praxisnahe Lösung: 42 Einheiten A und 52 Einheiten B (alle Arbeits-, fast alle Maschinenkapazität genutzt).

Schritt 3: Netzwerkanalyse (c)

Das Gleichungssystem lautet:

$I: \quad x_1 - x_2 = 2$ $II: \quad x_2 + x_3 = 5$ $III: \quad x_1 + x_3 = 7$

Gauß-Algorithmus (Dreiecksform):

Aus I: $x_1 = x_2 + 2$. Einsetzen in III:

$x_2 + 2 + x_3 = 7 \quad \Rightarrow \quad x_2 + x_3 = 5$

Das ist identisch mit Gleichung II — eine Nullzeile entsteht!

Das System hat unendlich viele Lösungen. Die dritte Gleichung ist von den anderen linear abhängig (sie liefert keine neue Information).

Lösungsmenge mit Parameter $t = x_3$:

$x_2 = 5 - t, \quad x_1 = 7 - t$

Physikalisch sinnvoll sind positive Ströme: $t > 0$, $5 - t > 0$, $7 - t > 0$, also $0 < t < 5$.

Interpretation: Das Netzwerk ist nicht eindeutig bestimmbar — es fehlt eine weitere Information (z. B. ein Messwert für einen der Ströme). Das entspricht einem unterbestimmten Netzwerk.

Ergebnis

Teilaufgabe	Ergebnis
(a) Mischung	2,5 kg Sorte A und 2,5 kg Sorte B
(b) Produktion	42 Einheiten A, 52 Einheiten B (gerundet)
(c) Netzwerk	Unendlich viele Lösungen; $x_1 = 7-t$, $x_2 = 5-t$, $x_3 = t$ mit $0 < t < 5$