Matrizen — Rechnen mit Tabellen

Einführung

Eine Tabelle mit Zahlen — das ist eine Matrix. Klingt einfach, ist aber eines der mächtigsten Werkzeuge der Mathematik. Matrizen beschreiben lineare Gleichungssysteme, geometrische Transformationen (Drehungen, Spiegelungen), Netzwerke und sogar neuronale Netze.

Wer Matrizen versteht, versteht die Sprache, in der Computer lineare Strukturen verarbeiten. Fast jede technische Berechnung — von der Computergrafik bis zur Statistik — steckt dahinter.

Grundidee

Stelle dir eine Tabelle vor: Zeilen und Spalten. Jeder Eintrag hat eine feste Position. Du kannst solche Tabellen addieren (Eintrag für Eintrag), mit einer Zahl skalieren (alle Einträge multiplizieren) — so wie du Vektoren behandelst.

Das Besondere kommt bei der Multiplikation: Zwei Tabellen miteinander zu multiplizieren ist kein einfaches Eintrag-mal-Eintrag, sondern ein strukturiertes Zeile-mal-Spalte-Verfahren. Damit lassen sich geometrische Abbildungen hintereinanderschalten und Gleichungssysteme kompakt lösen.

Erklärung

Was ist eine Matrix?

Eine $m \times n$-Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

Der Eintrag $a_{ij}$ steht in Zeile $i$ und Spalte $j$. Beispiel: Eine $2 \times 3$-Matrix hat 2 Zeilen und 3 Spalten:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

Addition und Skalarmultiplikation

Addition: Nur Matrizen gleicher Dimension lassen sich addieren — Eintrag für Eintrag:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

Skalarmultiplikation: Jeder Eintrag wird mit dem Skalar multipliziert:

$3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$

Matrizenmultiplikation

Das Produkt $C = A \cdot B$ ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl von $A$ gleich der Zeilenzahl von $B$ ist. Ist $A$ eine $m \times k$-Matrix und $B$ eine $k \times n$-Matrix, so ist $C$ eine $m \times n$-Matrix.

Der Eintrag $C_{ij}$ entsteht als Skalarprodukt der $i$-ten Zeile von $A$ mit der $j$-ten Spalte von $B$:

$C_{ij} = \sum_{k} A_{ik} \cdot B_{kj}$

Beispiel:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8 \\ 3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

Die Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix $I_n$ ist die $n \times n$-Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen sonst:

$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Sie ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation: $A \cdot I = I \cdot A = A$.

Determinante einer 2×2-Matrix

Für eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist die Determinante:

$\det A = ad - bc$

Sie gibt an, ob die Matrix invertierbar ist: Ist $\det A \neq 0$, existiert eine inverse Matrix $A^{-1}$. Geometrisch beschreibt $|\det A|$ den Flächenskalierungsfaktor einer linearen Abbildung.

Beispiel: $\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 10$

Die inverse Matrix

Zu einer invertierbaren $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist die Inverse:

$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Es gilt: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$.

Das LGS $A\vec{x} = \vec{b}$ lässt sich dann formal lösen als $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.

Transformationen als Matrizen

Geometrische Abbildungen in der Ebene lassen sich als Matrizenmultiplikation schreiben:

Drehung um den Ursprung um den Winkel $\varphi$: $D_\varphi = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}$

Spiegelung an der $x$-Achse: $S_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Einen Vektor $\vec{v}$ zu transformieren bedeutet: $\vec{v}' = D_\varphi \cdot \vec{v}$.

Beispiel aus dem Alltag

Netzwerkanalyse: In einem Straßennetz mit 3 Knotenpunkten kann man die Verbindungsstruktur als Adjazenzmatrix darstellen: $A_{ij} = 1$, wenn Knoten $i$ direkt mit Knoten $j$ verbunden ist, sonst $0$.

Das Quadrat dieser Matrix $A^2$ enthält in Eintrag $(i, j)$ die Anzahl der Wege der Länge 2 von $i$ nach $j$ — direkt als Matrizenmultiplikation!

Computergrafik: Drehungen, Skalierungen und Spiegelungen eines 3D-Modells werden als $4\times4$-Matrizen gespeichert. Hintereinanderschalten von Transformationen = Matrizenmultiplikation. Das macht Echtzeit-3D-Grafik überhaupt erst berechenbar.

Anwendung

Aufgabe 1: Berechne $A \cdot B$ für $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$.

Lösung: $A \cdot B = \begin{pmatrix} 2\cdot1+1\cdot2 & 2\cdot0+1\cdot(-1) \\ (-1)\cdot1+3\cdot2 & (-1)\cdot0+3\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$

Aufgabe 2: Bestimme $\det A$ und $A^{-1}$ für $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

Lösung: $\det A = 12 - 2 = 10$. $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$.

Aufgabe 3: Schreibe das LGS $2x + y = 5$, $x - 3y = 1$ als Matrixgleichung $A\vec{x} = \vec{b}$.

Lösung: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Typische Fehler

Zusammenfassung

Merke dir:

• Eine $m \times n$-Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten; Eintrag $a_{ij}$ sitzt in Zeile $i$, Spalte $j$
• Addition und Skalarmultiplikation funktionieren komponentenweise — nur für Matrizen gleicher Dimension
• Matrizenmultiplikation: $C_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}$ — Zeile $\times$ Spalte, nicht kommutativ
• Die Einheitsmatrix $I$ ist das neutrale Element: $AI = IA = A$
• Die Determinante $\det A = ad - bc$ entscheidet über Invertierbarkeit (und LGS-Lösbarkeit)
• Geometrische Transformationen (Drehung, Spiegelung) werden durch Matrizenmultiplikation dargestellt

Quiz

Frage 1: Warum kann man $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \end{pmatrix}$ nicht berechnen?

Frage 2: Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Frage 3: Eine Matrix hat $\det A = 0$. Was bedeutet das für das LGS $A\vec{x} = \vec{b}$?

Frage 4: Welche Matrix beschreibt eine Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn?