Extremwertaufgaben

Einführung

Extremwertaufgaben sind die Koenigsklasse der Analysis: Du wendest alles an, was du ueber Ableitungen und Kurvendiskussion gelernt hast, um ein reales Optimierungsproblem zu loesen. „Welche Masse maximiert das Volumen?”, „Welcher Preis bringt den hoechsten Gewinn?”, „Welche Form verbraucht am wenigsten Material?” — solche Fragen sind ein Klassiker im Abitur und zeigen, wozu Analysis in der Praxis gut ist.

Grundidee

Stell dir vor, du hast ein Stück Pappe (z. B. 20 cm mal 30 cm) und willst daraus eine offene Schachtel falten, indem du an jeder Ecke ein Quadrat ausschneidest und die Seiten hochklappst. Je größer die Quadrate, desto höher wird die Schachtel — aber desto kleiner wird der Boden. Je kleiner die Quadrate, desto flacher die Schachtel, aber der Boden ist größer.

Es gibt einen Sweet Spot — eine bestimmte Quadratgroesse, bei der das Volumen der Schachtel maximal wird. Genau diesen Sweet Spot zu finden, ist das Ziel einer Extremwertaufgabe.

Das Vorgehen folgt immer dem gleichen Schema:

1. Was soll optimiert werden? → Hauptbedingung (z. B. Volumen maximieren)
2. Welche Einschraenkung gibt es? → Nebenbedingung (z. B. feste Papiergroesse)
3. Alles in eine Variable umschreiben → Zielfunktion
4. Ableiten, Nullstellen finden, Maximum/Minimum bestimmen

Erklärung

Das 4-Schritte-Schema

Ausfuehrliches Beispiel: Die offene Schachtel

Aus einem Stück Pappe ($20\,\text{cm} \times 30\,\text{cm}$) werden an den Ecken Quadrate der Seitenlaenge $x$ ausgeschnitten und die Raender hochgeklappt.

Schritt 1 — Hauptbedingung:

$V = \text{Laenge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Hoehe} = (30 - 2x)(20 - 2x) \cdot x$

Schritt 2 — Nebenbedingung:

Die Nebenbedingung steckt hier bereits in der Geometrie: Die Papiergroesse ist fest. Die Variable $x$ muss im Bereich $0 < x < 10$ liegen (sonst waere die Breite negativ oder Null).

Schritt 3 — Zielfunktion:

$V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = x(600 - 100x + 4x^2) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$

Schritt 4 — Optimieren:

$V'(x) = 12x^2 - 200x + 600$

$V'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 12x^2 - 200x + 600 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 - 50x + 150 = 0$

$x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{6} = \frac{50 \pm \sqrt{700}}{6} = \frac{50 \pm 10\sqrt{7}}{6}$

$x_1 = \frac{50 - 10\sqrt{7}}{6} \approx 3{,}92 \qquad x_2 = \frac{50 + 10\sqrt{7}}{6} \approx 12{,}75$

Da $x < 10$ sein muss, kommt nur $x_1 \approx 3{,}92$ in Frage.

$V''(x) = 24x - 200 \qquad V''(3{,}92) \approx -106 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum}$

$V(3{,}92) \approx 4 \cdot 60{,}2 - 100 \cdot 15{,}4 + 600 \cdot 3{,}92 \approx 1056{,}3\,\text{cm}^3$

Beispiel mit expliziter Nebenbedingung

Aufgabe: Ein Bauer moechte mit 120 m Zaun eine rechteckige Weide an einer Hauswand einzaeunen. Die Hauswand bildet eine Seite, sodass nur drei Seiten Zaun benoetigen. Welche Masse maximieren die Fläche?

Schritt 1 — HB: $A = a \cdot b$ (Fläche maximieren)

Schritt 2 — NB: $a + 2b = 120$ (120 m Zaun fuer drei Seiten). Aufloesen: $a = 120 - 2b$

Schritt 3 — Zielfunktion: $A(b) = (120 - 2b) \cdot b = 120b - 2b^2$

Schritt 4 — Optimieren:

$A'(b) = 120 - 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 30$

$A''(b) = -4 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum}$

$a = 120 - 2 \cdot 30 = 60$

Die Weide hat die Masse $60\,\text{m} \times 30\,\text{m}$ mit einer Fläche von $1800\,\text{m}^2$.

Beispiel aus dem Alltag

Dosendesign:

Ein Hersteller will Konservendosen mit einem Volumen von $500\,\text{cm}^3$ produzieren und dabei möglichst wenig Blech verwenden.

Eine zylindrische Dose hat Radius $r$ und Höhe $h$.

HB: Oberflaeche minimieren: $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

NB: Volumen ist fest: $V = \pi r^2 h = 500$ → $h = \frac{500}{\pi r^2}$

Zielfunktion:

$O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}$

$O'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0$

$4\pi r^3 = 1000 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{\frac{1000}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx 4{,}30\,\text{cm}$

$h = \frac{500}{\pi \cdot 4{,}30^2} \approx 8{,}60\,\text{cm}$

Die optimale Dose hat $h = 2r$ — sie ist also genauso hoch wie breit.

Anwendung

Aufgabe 1: Ein Draht der Laenge $40\,\text{cm}$ wird zu einem Rechteck gebogen. Welche Seitenlaengen maximieren die Fläche?

Loesung:

NB: $2a + 2b = 40$ → $b = 20 - a$

Zielfunktion: $A(a) = a(20 - a) = 20a - a^2$

$A'(a) = 20 - 2a = 0$ → $a = 10$, also $b = 10$.

Das Quadrat mit Seitenlaenge $10\,\text{cm}$ hat die maximale Fläche $100\,\text{cm}^2$.

Aufgabe 2: Einem Kreis mit Radius $r = 6$ wird ein Rechteck mit groesster Fläche einbeschrieben. Bestimme die Seitenlaengen.

Loesung:

HB: $A = 2x \cdot 2y = 4xy$

NB: $x^2 + y^2 = 36$ → $y = \sqrt{36 - x^2}$

Zielfunktion: $A(x) = 4x\sqrt{36 - x^2}$ fuer $0 < x < 6$

Einfacher: Maximiere $A^2(x) = 16x^2(36 - x^2) = 576x^2 - 16x^4$

$(A^2)'(x) = 1152x - 64x^3 = 0$ → $x^2 = 18$ → $x = 3\sqrt{2}$

$y = \sqrt{36 - 18} = 3\sqrt{2}$

Die Seitenlaengen sind $2x = 2y = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ — ein Quadrat.

Typische Fehler

Zusammenfassung

• Extremwertaufgaben folgen dem 4-Schritte-Schema: Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion, Optimierung.
• Die Hauptbedingung beschreibt, was optimiert werden soll.
• Die Nebenbedingung liefert eine Einschraenkung, die eine Variable eliminiert.
• Die Zielfunktion haengt nur noch von einer Variablen ab und wird mit $f'(x) = 0$ optimiert.
• Randwerte muessen immer geprüft werden — das globale Optimum kann am Rand liegen.
• Die Loesung muss im Sachkontext interpretiert werden.

Quiz

Frage 1: Was ist der Unterschied zwischen Hauptbedingung und Nebenbedingung?

Die Hauptbedingung beschreibt die Größe, die optimiert werden soll (z. B. Fläche, Volumen). Die Nebenbedingung ist eine Einschraenkung (z. B. fester Umfang, festes Material), die es erlaubt, eine Variable zu eliminieren.

Frage 2: Warum muss die Zielfunktion nur von einer Variablen abhaengen?

Weil wir zum Optimieren die Ableitung bilden und $f'(x) = 0$ setzen. Das funktioniert nur mit einer Variablen. Die Nebenbedingung dient dazu, die zweite Variable durch die erste auszudruecken.

Frage 3: Ein Rechteck hat den Umfang $U = 24$. Welche Seitenlaengen maximieren die Fläche?

NB: $2a + 2b = 24$ → $b = 12 - a$. Zielfunktion: $A(a) = a(12 - a)$. $A'(a) = 12 - 2a = 0$ → $a = 6$, $b = 6$. Maximale Fläche: $36$. Das Quadrat ist optimal.

Frage 4: Warum muss man bei Extremwertaufgaben die Randwerte prüfen?

Weil die Ableitung nur lokale Extremstellen findet. Das globale Maximum oder Minimum kann aber auch am Rand des Definitionsbereichs liegen, wo die Ableitung nicht Null sein muss. Beispiel: Auf $[0; 10]$ kann $f(0)$ oder $f(10)$ größer sein als der lokale Hochpunkt.