Kurvendiskussion mit Parameter

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - a x^2$ mit dem Parameter $a \in \mathbb{R}$, $a > 0$.

• (a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$. (2 BE)
• (b) Berechnen Sie die Extrempunkte und geben Sie deren Art an. (4 BE)
• (c) Bestimmen Sie den Wendepunkt und zeigen Sie, dass alle Wendepunkte auf einer gemeinsamen Kurve liegen. Geben Sie die Gleichung dieser Kurve an. (4 BE)
• (d) Für welchen Wert von $a$ liegt der Hochpunkt auf der $x$-Achse? (2 BE)
• (e) Skizzieren Sie die Graphen für $a = 1$ und $a = 3$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. (2 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Nullstellen (a)

$f_a(x) = x^3 - ax^2 = x^2(x - a) = 0$

$\boxed{x_1 = 0 \text{ (doppelt)}, \quad x_2 = a}$

Bei $x = 0$: Berührung der $x$-Achse. Bei $x = a$: Schnittpunkt mit $x$-Achse.

Schritt 2: Extrempunkte (b)

$f_a'(x) = 3x^2 - 2ax$

Notwendige Bedingung: $f_a'(x) = 0$:

$x(3x - 2a) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0, \quad x_2 = \tfrac{2a}{3}$

Zweite Ableitung:

$f_a''(x) = 6x - 2a$

Hinreichende Bedingung:

$f_a''(0) = -2a < 0 \text{ (da } a > 0\text{)} \quad \Rightarrow \quad \text{Hochpunkt}$

$f_a''\!\left(\tfrac{2a}{3}\right) = 6 \cdot \tfrac{2a}{3} - 2a = 4a - 2a = 2a > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Tiefpunkt}$

Funktionswerte:

$f_a(0) = 0$

$f_a\!\left(\tfrac{2a}{3}\right) = \left(\tfrac{2a}{3}\right)^3 - a\left(\tfrac{2a}{3}\right)^2 = \tfrac{8a^3}{27} - \tfrac{4a^3}{9} = \tfrac{8a^3 - 12a^3}{27} = -\tfrac{4a^3}{27}$

$\boxed{H(0 \mid 0), \quad T\!\left(\tfrac{2a}{3} \;\middle|\; -\tfrac{4a^3}{27}\right)}$

Schritt 3: Wendepunkt und Ortskurve (c)

$f_a''(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x - 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad x_W = \frac{a}{3}$

$f_a'''(x) = 6 \neq 0$ → Wendepunkt bestätigt.

Funktionswert:

$f_a\!\left(\tfrac{a}{3}\right) = \tfrac{a^3}{27} - a \cdot \tfrac{a^2}{9} = \tfrac{a^3}{27} - \tfrac{a^3}{9} = -\tfrac{2a^3}{27}$

$W\!\left(\tfrac{a}{3} \;\middle|\; -\tfrac{2a^3}{27}\right)$

Ortskurve: Aus $x_W = \frac{a}{3}$ folgt $a = 3x_W$. Einsetzen:

$y_W = -\frac{2(3x_W)^3}{27} = -\frac{54\,x_W^3}{27} = -2x_W^3$

$\boxed{\text{Ortskurve: } y = -2x^3}$

Schritt 4: Hochpunkt auf der $x$-Achse (d)

Der Hochpunkt ist $H(0 \mid 0)$. Er liegt für jeden Wert von $a$ auf der $x$-Achse, da $f_a(0) = 0$ stets gilt.

$\boxed{\text{Für alle } a > 0 \text{ liegt } H(0 \mid 0) \text{ auf der } x\text{-Achse.}}$

Schritt 5: Skizze für $a = 1$ und $a = 3$ (e)

$a = 1$: $f_1(x) = x^3 - x^2$. Nullstellen: $0$, $1$. Tiefpunkt: $T(\frac{2}{3} \mid -\frac{4}{27})$.

$a = 3$: $f_3(x) = x^3 - 3x^2$. Nullstellen: $0$, $3$. Tiefpunkt: $T(2 \mid -4)$.

Beide Graphen berühren die $x$-Achse im Ursprung und schneiden sie bei $x = a$.

Ergebnis

Eigenschaft	Ergebnis
Nullstellen	$x_1 = 0$ (doppelt), $x_2 = a$
Hochpunkt	$H(0 \mid 0)$
Tiefpunkt	$T\!\left(\frac{2a}{3} \mid -\frac{4a^3}{27}\right)$
Wendepunkt	$W\!\left(\frac{a}{3} \mid -\frac{2a^3}{27}\right)$
Ortskurve der Wendepunkte	$y = -2x^3$