Dose mit minimalem Materialverbrauch

Aufgabenstellung

Aus einem Stück Blech soll eine zylindrische Dose mit Deckel hergestellt werden, die ein Volumen von $V = 500\,\text{cm}^3$ fassen soll.

(a) Stellen Sie die Zielfunktion $O(r)$ für die Gesamtoberfläche der Dose in Abhängigkeit vom Radius $r$ auf. (3 BE)
(b) Bestimmen Sie den Radius $r$ und die Höhe $h$ , für die der Materialverbrauch minimal wird. (5 BE)
(c) Weisen Sie nach, dass es sich um ein Minimum handelt, und berechnen Sie den minimalen Materialverbrauch. (4 BE)

Das Volumen des Zylinders beträgt:

$V = \pi r^2 h = 500 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{500}{\pi r^2}$

Die Gesamtoberfläche (Mantel + 2 Kreise) ist:

$O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Einsetzen der Nebenbedingung:

$O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}$

$\boxed{O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \quad r > 0}$

$O'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$

Notwendige Bedingung: $O'(r) = 0$ :

$4\pi r = \frac{1000}{r^2} \quad \Rightarrow \quad 4\pi r^3 = 1000 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{1000}{4\pi} = \frac{250}{\pi}$

$r = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx \sqrt[3]{79{,}577} \approx 4{,}301\,\text{cm}$

$\boxed{r \approx 4{,}30\,\text{cm}}$

$h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{500}{\pi \cdot \left(\frac{250}{\pi}\right)^{2/3}}$

Vereinfachung: $h = \frac{500}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{250}\right)^{2/3}$

Numerisch:

$h = \frac{500}{\pi \cdot 18{,}501} \approx \frac{500}{58{,}122} \approx 8{,}603\,\text{cm}$

Es gilt $h = 2r$ , denn:

$h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{2 \cdot 250}{\pi r^2} = \frac{2r^3 \cdot \pi}{\pi r^2} = 2r$

$\boxed{h = 2r \approx 8{,}60\,\text{cm}}$

Zweite Ableitung:

$O''(r) = 4\pi + \frac{2000}{r^3}$

Da $r > 0$ , gilt $O''(r) > 0$ für alle zulässigen $r$ .

$O''(r) > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Minimum bestätigt.}$

Minimaler Materialverbrauch:

$O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r} = 2\pi \cdot 18{,}501 + \frac{1000}{4{,}301}$

$\approx 116{,}24 + 232{,}49 \approx 348{,}73\,\text{cm}^2$

$\boxed{O_{\min} \approx 348{,}7\,\text{cm}^2}$