Binomialverteilung

Einführung

Die Binomialverteilung ist das zentrale Thema der Stochastik im Abitur. Sie beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, bei wiederholten Versuchen eine bestimmte Anzahl an Treffern zu erzielen — vom Münzwurf über Qualitätskontrollen bis hin zu medizinischen Studien. Wer die Binomialverteilung beherrscht, hat den Großteil der Abi-Stochastik im Griff.

Grundidee

Du wirfst 10-mal eine Münze. „Natürlich kommen 5-mal Kopf!” — oder? Tatsächlich passiert genau 5-mal Kopf nur in 24,6 % der Fälle. In mehr als drei Viertel aller Versuche kommt eine andere Zahl heraus. Überrascht?

Stell dir das so vor: Du stehst vor einem Glücksrad, das du 10-mal drehst. Jedes Mal gibt es nur zwei Möglichkeiten — Treffer oder Niete. Du fragst dich: Wie wahrscheinlich sind genau 7 Treffer? Das klingt nach einer einfachen Frage, aber die Antwort hat es in sich:

1. Wie viele Treffer? — Das legt die „Kraft” fest ($p^k$ für Treffer, $(1-p)^{n-k}$ für Nieten)
2. In welcher Reihenfolge? — Es gibt viele verschiedene Anordnungen ($\binom{n}{k}$ Möglichkeiten)

Die Binomialverteilung packt beides zusammen in eine einzige Formel.

So sieht die Verteilung für 10 Münzwürfe aus — die Wahrscheinlichkeit für jede Trefferzahl:

P(X=k)
0.25 │          ██
0.20 │       ██    ██
0.15 │     ██        ██
0.10 │   ██            ██
0.05 │  █                █
0.01 │ █                  █
     └──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──
        0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
                  Anzahl Kopf (k)

       Die Verteilung ist symmetrisch bei p = 0,5
       Der Gipfel liegt bei k = 5, aber P(X=5) ≈ 0,246

Erklärung

Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei Ausgänge:

• Treffer (Erfolg) mit Wahrscheinlichkeit $p$
• Niete (Misserfolg) mit Wahrscheinlichkeit $1 - p$

Beispiele: Münzwurf (Kopf/Zahl), Bauteil (funktioniert/defekt), Klausur (bestanden/nicht bestanden).

Bernoulli-Kette

Eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ ist die $n$-fache unabhängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments.

Die Binomialformel

Die Zufallsgröße $X$ = „Anzahl der Treffer” bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ ist binomialverteilt: $X \sim B(n; p)$.

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer ist die Anzahl der möglichen Anordnungen mal die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen solchen Anordnung.

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Warum braucht man $\binom{n}{k}$? Ein konkretes Beispiel:

Stell dir 8 Würfe vor, du willst genau 5 Treffer (T) und 3 Nieten (N). Hier sind einige der möglichen Anordnungen:

TTTTTNN N    ← alle 5 Treffer am Anfang
TTNTN TNN    ← Treffer verstreut
NNNTTTTT     ← alle 5 Treffer am Ende
TNTNTN TN    ← abwechselnd
...

Es gibt C(8,5) = 56 solche Anordnungen!
Jede einzelne hat die Wahrscheinlichkeit p⁵·(1-p)³.
Also: P(X=5) = 56 · p⁵ · (1-p)³

Erwartungswert und Streuung

In Worten: Der Erwartungswert sagt dir, wie viele Treffer du „im Schnitt” erwarten kannst. Die Standardabweichung sagt dir, wie weit das tatsächliche Ergebnis typischerweise davon abweicht.

$\mu = E(X) = n \cdot p$

$\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Der Erwartungswert $\mu$ gibt an, wie viele Treffer man „im Durchschnitt” erwartet. Die Standardabweichung $\sigma$ misst, wie stark die Ergebnisse typischerweise um $\mu$ streuen.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Oft fragt man nicht nach $P(X = k)$, sondern nach:

In Worten: „Höchstens 3 Treffer” bedeutet $P(X \leq 3)$ — addiere $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$.

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) \qquad \text{(kumulierte Verteilung)}$

„Mindestens” rechnet man über das Gegenereignis:

$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1) \qquad \text{(über Gegenereignis)}$

Sigma-Regeln

Für große $n$ (Faustregel: $n \cdot p \cdot (1-p) > 9$) gelten näherungsweise:

Beispiel aus dem Alltag

Beispiel 1: Qualitätskontrolle

Eine Fabrik weiß, dass $4\,\%$ ihrer Bauteile fehlerhaft sind. Aus einer Lieferung werden 50 Teile zufällig geprüft.

$X \sim B(50; \; 0{,}04)$

$\mu = 50 \cdot 0{,}04 = 2$

Im Schnitt erwartet man 2 defekte Teile in der Stichprobe.

$\sigma = \sqrt{50 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96} = \sqrt{1{,}92} \approx 1{,}39$

Beispiel 2: Multiple-Choice-Test

Ein Test hat 10 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten. Du rätst bei jeder Frage.

$X \sim B(10; \; 0{,}25)$

$P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{10} = 0{,}75^{10} \approx 0{,}0563$

Die Chance, keine einzige Frage richtig zu raten, liegt bei etwa $5{,}6\,\%$.

$\mu = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5$

Im Schnitt rät man $2{,}5$ von 10 Fragen richtig.

Anwendung

Aufgabe 1: P(X = k) berechnen

Eine faire Münze wird 8-mal geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau 5-mal Kopf?

$P(X = 5) = \binom{8}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^3 = 56 \cdot 0{,}5^8 = 56 \cdot \frac{1}{256}$

$\boxed{P(X = 5) = \frac{56}{256} = 0{,}21875 \approx 21{,}9\,\%}$

Aufgabe 2: P(X ≥ 3) über Gegenereignis

Bei einem Würfel gilt „Treffer” = Sechs, also $p = \frac{1}{6}$. Der Würfel wird 10-mal geworfen.

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

$P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 0{,}1615$

$P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{9} \approx 0{,}3230$

$P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8} \approx 0{,}2907$

$P(X \geq 3) = 1 - (0{,}1615 + 0{,}3230 + 0{,}2907) = 1 - 0{,}7752$

$\boxed{P(X \geq 3) \approx 0{,}2248 \approx 22{,}5\,\%}$

Aufgabe 3: Erwartungswert und Standardabweichung

Eine Maschine produziert Teile mit $2\,\%$ Ausschuss. In einer Stichprobe von $n = 200$:

$\mu = 200 \cdot 0{,}02 = 4$

$\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98} = \sqrt{3{,}92} \approx 1{,}98$

Man erwartet im Schnitt 4 defekte Teile, mit einer Streuung von etwa $\pm 2$.

Aufgabe 4: Sigma-Umgebung

Für die Stichprobe aus Aufgabe 3: In welchem Bereich liegen die Ergebnisse mit $95\,\%$ Sicherheit?

$\mu \pm 1{,}96 \cdot \sigma = 4 \pm 1{,}96 \cdot 1{,}98 = 4 \pm 3{,}88$

$\boxed{[0{,}12 \; ; \; 7{,}88] \Rightarrow \text{gerundet: } 0 \text{ bis } 8 \text{ defekte Teile}}$

Typische Fehler

Weitere häufige Fehler:

• Sigma-Regeln bei kleinem $n$ anwenden: Die Näherung über die Normalverteilung funktioniert erst ab $n \cdot p \cdot (1-p) > 9$.

Zusammenfassung

• Ein Bernoulli-Experiment hat zwei Ausgänge mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit $p$.
• Die Binomialformel $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ zählt die Treffer bei $n$ Versuchen.
• Erwartungswert $\mu = n \cdot p$ und Standardabweichung $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$.
• Kumulierte Wahrscheinlichkeiten und das Gegenereignis sind essentiell für „mindestens/höchstens”-Fragen.
• Die Sigma-Regeln geben Intervalle an, in denen die Ergebnisse mit hoher Wahrscheinlichkeit liegen.
• Binomialverteilung ist die Basis für Hypothesentests im Abitur.

Quiz

Frage 1: Nenne die drei Bedingungen für eine Bernoulli-Kette.

Frage 2: $X \sim B(20; \; 0{,}3)$. Berechne $\mu$ und $\sigma$.

Frage 3: Warum verwendet man bei $P(X \geq 5)$ das Gegenereignis?

Frage 4: Was bedeutet $\binom{n}{k}$ in der Binomialformel anschaulich?