Qualitätskontrolle — Binomialverteilung

Aufgabenstellung

Eine Fabrik produziert Glühbirnen. Erfahrungsgemäß sind 5 % der Birnen defekt. Aus einer laufenden Produktion wird eine Stichprobe von $n = 20$ Birnen zufällig entnommen und geprüft. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der defekten Birnen in der Stichprobe.

• (a) Begründe, dass $X$ binomialverteilt ist mit $X \sim B(20;\, 0{,}05)$. Prüfe die Bedingungen einer Bernoulli-Kette.
• (b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine Birne defekt ist: $P(X = 0)$.
• (c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Birnen defekt sind: $P(X \geq 2)$.
• (d) Bestimme den Erwartungswert $E(X)$ und die Standardabweichung $\sigma(X)$.
• (e) Bestimme die $2\sigma$-Umgebung des Erwartungswerts. Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Lösungsweg

Schritt 1: Begründung der Binomialverteilung (a)

Eine Bernoulli-Kette liegt vor, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Feste Anzahl von Versuchen: Es werden genau $n = 20$ Birnen geprüft. ✓
2. Zwei Ausgänge pro Versuch: Jede Birne ist entweder defekt (Treffer) oder intakt (Niete). ✓
3. Konstante Trefferwahrscheinlichkeit: Die Defektrate beträgt bei jeder Birne $p = 0{,}05$. ✓
4. Unabhängigkeit: Die Qualität einer Birne beeinflusst nicht die Qualität einer anderen (bei großer Produktionsmenge). ✓

Da alle Bedingungen erfüllt sind, ist $X$ die Trefferzahl einer Bernoulli-Kette der Länge $n = 20$ mit $p = 0{,}05$.

$\boxed{X \sim B(20;\, 0{,}05)}$

Schritt 2: $P(X = 0)$ berechnen (b)

Mit der Formel der Binomialverteilung:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Für $k = 0$:

$P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}05^0 \cdot 0{,}95^{20}$

$= 1 \cdot 1 \cdot 0{,}95^{20}$

$\boxed{P(X = 0) \approx 0{,}3585 \approx 35{,}8\,\%}$

Schritt 3: $P(X \geq 2)$ über Gegenereignis (c)

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

Zunächst $P(X = 1)$:

$P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{19}$

$= 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{19} \approx 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}3774$

$P(X = 1) \approx 0{,}3774$

Damit:

$P(X \geq 2) = 1 - 0{,}3585 - 0{,}3774$

$\boxed{P(X \geq 2) \approx 0{,}2642 \approx 26{,}4\,\%}$

Schritt 4: Erwartungswert und Standardabweichung (d)

Erwartungswert:

$E(X) = n \cdot p = 20 \cdot 0{,}05 = 1$

Varianz:

$\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95 = 0{,}95$

Standardabweichung:

$\sigma(X) = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{0{,}95}$

$\boxed{E(X) = 1, \quad \sigma(X) \approx 0{,}9747}$

Im Schnitt enthält eine Stichprobe von 20 Birnen also genau eine defekte Birne.

Schritt 5: $2\sigma$-Umgebung (e)

Die $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert umfasst das Intervall:

$[\mu - 2\sigma;\; \mu + 2\sigma] = [1 - 2 \cdot 0{,}9747;\; 1 + 2 \cdot 0{,}9747]$

$= [1 - 1{,}9494;\; 1 + 1{,}9494] = [-0{,}9494;\; 2{,}9494]$

Da $X$ nur ganzzahlige Werte annimmt und $X \geq 0$ gilt:

$X \in \{0;\, 1;\, 2\}$

Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs:

$P(0 \leq X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$

$P(X = 2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{18} = 190 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}3972 \approx 0{,}1887$

$P(0 \leq X \leq 2) \approx 0{,}3585 + 0{,}3774 + 0{,}1887 \approx 0{,}9246$

$\boxed{P(0 \leq X \leq 2) \approx 0{,}9246 \approx 92{,}5\,\%}$

Interpretation: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 92,5 % enthält eine Stichprobe von 20 Birnen höchstens 2 defekte Exemplare. Werden 3 oder mehr defekte Birnen gefunden, wäre dies ein ungewöhnliches Ergebnis und könnte auf eine erhöhte Fehlerquote in der Produktion hindeuten.

Ergebnis

Frage	Antwort
Modell	$X \sim B(20;\, 0{,}05)$ — Bernoulli-Kette
$P(X = 0)$	$\approx 0{,}3585$ ($35{,}8\,\%$)
$P(X \geq 2)$	$\approx 0{,}2642$ ($26{,}4\,\%$)
Erwartungswert	$E(X) = 1$
Standardabweichung	$\sigma(X) \approx 0{,}9747$
$2\sigma$-Umgebung	$X \in \{0;\, 1;\, 2\}$ mit $P \approx 92{,}5\,\%$