Zufallsgrößen und Erwartungswert

Einführung

Was gewinnt man „im Durchschnitt” bei einem Glücksspiel? Lohnt sich eine Versicherung? Solche Fragen beantwortet der Erwartungswert — ein zentrales Konzept der Stochastik. Er verbindet Wahrscheinlichkeiten mit konkreten Zahlenwerten und bildet die Grundlage für die Binomialverteilung und Hypothesentests im Abitur.

Grundidee

Auf dem Jahrmarkt ruft der Schausteller: „Nur 2 Euro Einsatz! Gewinne bis zu 50 Euro!”

Klingt verlockend. Du spielst einmal und gewinnst tatsächlich 10 Euro — Jackpot! Du spielst nochmal: nichts. Nochmal: nichts. Nochmal: 2 Euro zurück. Nach 10 Runden hast du 20 Euro bezahlt und 12 Euro gewonnen. Verlust: 8 Euro.

„War nur Pech”, denkst du. Also spielst du weiter. Nach 100 Runden wird es deutlich: Du hast 200 Euro eingesetzt und etwa 130 Euro zurückbekommen. Pro Spiel verlierst du im Schnitt 70 Cent.

Das ist kein Zufall — das ist der Erwartungswert in Aktion. Er sagt dir: Was passiert auf Dauer, wenn ich dieses Spiel sehr oft spiele? Und die Antwort bei Glücksspielen ist fast immer dieselbe: Das Haus gewinnt.

Der Erwartungswert macht diese Intuition mathematisch präzise. Er ist der „gewichtete Durchschnitt” aller möglichen Ergebnisse — gewichtet danach, wie wahrscheinlich sie sind.

Erklärung

Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße $X$ ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

In Worten: „Jedem Ausgang des Zufalls ordnen wir eine Zahl zu — meistens einen Gewinn, eine Anzahl oder eine Messgröße.”

Beispiel: Beim Würfeln ist $X$ = Augenzahl. Beim Glücksrad ist $X$ = Gewinnbetrag.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem Wert $x_i$ von $X$ seine Wahrscheinlichkeit $P(X = x_i)$ zu:

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\ldots$	$x_n$
$P(X = x_i)$	$p_1$	$p_2$	$\ldots$	$p_n$

Es muss gelten: $\sum_{i} p_i = 1$.

So sieht das beim fairen Würfel aus:

P(X)
 1/6 │  ■     ■     ■     ■     ■     ■
     │  ■     ■     ■     ■     ■     ■
     │  ■     ■     ■     ■     ■     ■
     └──┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼───  X
        1     2     3     4     5     6

Jeder Balken ist gleich hoch — jede Augenzahl ist gleich wahrscheinlich. Bei einem gezinkten Würfel wären die Balken unterschiedlich hoch.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte:

In Worten: „Nimm jeden möglichen Wert, multipliziere ihn mit seiner Wahrscheinlichkeit, und addiere alles.”

Beispiel — fairer Würfel:

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$

Man erwartet im Schnitt die Augenzahl $3{,}5$ — ein Wert, der selbst gar nicht auftreten kann!

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz misst, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen:

In Worten: „Wie weit weichen die Ergebnisse typischerweise vom Erwartungswert ab?”

$\text{Var}(X) = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$

Alternativ (oft einfacher zu rechnen):

$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz:

$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

$\sigma$ hat dieselbe Einheit wie $X$ und ist anschaulicher als die Varianz.

Rechenregeln

Für Konstanten $a$ und $b$:

$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Beachte: Die Verschiebung $b$ ändert den Erwartungswert, aber nicht die Varianz. Die Skalierung $a$ wirkt quadratisch auf die Varianz.

Faires Spiel

Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz ist — also $E(\text{Gewinn}) = 0$ (nach Abzug des Einsatzes). In der Praxis sind Glücksspiele nie fair: Der Veranstalter hat immer einen Vorteil.

Beispiel aus dem Alltag

Beispiel 1: Glücksrad auf dem Jahrmarkt

Zurück zu unserem Schausteller. Jetzt schauen wir genau hin:

Gewinn $x$	$0$ €	$2$ €	$5$ €	$20$ €
$P(X = x)$	$0{,}50$	$0{,}30$	$0{,}15$	$0{,}05$

So sieht die Verteilung aus:

P(X)
0,50 │  ■
     │  ■
0,30 │  ■     ■
     │  ■     ■
0,15 │  ■     ■     ■
     │  ■     ■     ■
0,05 │  ■     ■     ■     ■
     └──┼─────┼─────┼─────┼───  Gewinn (€)
        0     2     5    20

Der hohe Balken bei 0 Euro dominiert — in der Hälfte der Fälle gehst du leer aus!

$E(X) = 0 \cdot 0{,}50 + 2 \cdot 0{,}30 + 5 \cdot 0{,}15 + 20 \cdot 0{,}05$

$E(X) = 0 + 0{,}60 + 0{,}75 + 1{,}00 = 2{,}35 \text{ EUR}$

Der Einsatz beträgt $3$ €. Der erwartete Verlust pro Spiel ist $2{,}35 - 3{,}00 = -0{,}65$ €.

Ein faires Spiel hätte Einsatz $2{,}35$ €.

Bei 100 Spielen verlierst du im Schnitt $100 \times 0{,}65 = 65$ €. Der Schausteller finanziert so sein Geschäft.

Beispiel 2: Versicherung — warum wir freiwillig „zu viel” zahlen

Ein Smartphone im Wert von $800$ € hat folgende Schadenswahrscheinlichkeiten pro Jahr:

Schaden	$0$ €	$200$ €	$800$ €
Wahrscheinlichkeit	$0{,}85$	$0{,}10$	$0{,}05$

$E(\text{Schaden}) = 0 \cdot 0{,}85 + 200 \cdot 0{,}10 + 800 \cdot 0{,}05 = 0 + 20 + 40 = 60 \text{ EUR}$

Eine Versicherung kostet $80$ €/Jahr — also $20$ € mehr als der erwartete Schaden. Ist das ein schlechter Deal?

Rein mathematisch: ja. Du zahlst im Schnitt $20$ € zu viel.

Aber stell dir vor, du hast kein Geld für ein neues Smartphone. Der Totalverlust von $800$ € wäre eine Katastrophe — auch wenn er nur mit $5\,\%$ Wahrscheinlichkeit eintritt. Wir zahlen freiwillig mehr als den Erwartungswert, um das RISIKO des schlimmsten Falls zu vermeiden. Das ist keine Dummheit, sondern rationales Verhalten — und genau deshalb funktioniert das Geschäftsmodell von Versicherungen.

Anwendung

Aufgabe 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen

Zwei Würfel werden geworfen, $X$ = Summe der Augenzahlen.

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$P(X=x)$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

P(X)
6/36 │              ■
5/36 │           ■  ■  ■
4/36 │        ■  ■  ■  ■  ■
3/36 │     ■  ■  ■  ■  ■  ■  ■
2/36 │  ■  ■  ■  ■  ■  ■  ■  ■  ■
1/36 │  ■  ■  ■  ■  ■  ■  ■  ■  ■  ■  ■
     └──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──  X
        2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12

Die 7 ist am wahrscheinlichsten — es gibt die meisten Kombinationen (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1).

Kontrolle: $1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36$ → $\frac{36}{36} = 1$ ✓

Aufgabe 2: Erwartungswert eines Glücksspiels

Ein Spiel kostet $5$ € Einsatz. Man würfelt einmal:

• Augenzahl 6 → Gewinn $15$ €
• Augenzahl 5 → Gewinn $5$ € (Einsatz zurück)
• Sonst → nichts

$E(\text{Auszahlung}) = 15 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{4}{6} = \frac{15 + 5}{6} = \frac{20}{6} \approx 3{,}33 \text{ EUR}$

$\boxed{E(\text{Gewinn}) = 3{,}33 - 5{,}00 = -1{,}67\text{ EUR}}$

Man verliert im Schnitt $1{,}67$ € pro Spiel.

Aufgabe 3: Fairen Einsatz bestimmen

Gleiches Spiel: Welcher Einsatz wäre fair?

$\boxed{\text{Fairer Einsatz} = E(\text{Auszahlung}) = \frac{20}{6} \approx 3{,}33\text{ EUR}}$

Aufgabe 4: Varianz und Standardabweichung

Für den fairen Würfel ($X$ = Augenzahl):

$E(X) = 3{,}5$

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots + 6^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15{,}17$

$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}917$

$\boxed{\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71}$

Typische Fehler

2. Wahrscheinlichkeiten nicht auf 1 prüfen: Wenn $\sum p_i \neq 1$, ist die Verteilung fehlerhaft. Immer kontrollieren!

3. Varianz-Formel verwechseln: Die Verschiebungsformel $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ist nicht dasselbe wie $[E(X)]^2 - E(X^2)$. Die Reihenfolge zählt — die Varianz ist immer positiv!

4. Einsatz beim fairen Spiel vergessen: „Faires Spiel” bezieht sich auf den Erwartungswert der Auszahlung abzüglich des Einsatzes, nicht auf die reine Auszahlung.

5. Varianz statt Standardabweichung angeben: Die Varianz hat eine andere Einheit als $X$ (quadriert). Für die Interpretation braucht man die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.

Zusammenfassung

• Eine Zufallsgröße ordnet Ergebnissen Zahlenwerte zu.
• Die Wahrscheinlichkeitsverteilung listet alle Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten auf ($\sum p_i = 1$).
• Der Erwartungswert $E(X) = \sum x_i \cdot p_i$ ist der langfristige Durchschnitt.
• Varianz und Standardabweichung messen die Streuung um $\mu$.
• Ein faires Spiel hat $E(\text{Gewinn}) = 0$.
• Die Konzepte liefern die Grundlage für Binomialverteilung ($\mu = np$, $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$).

Quiz

Frage 1: Ein Würfel wird einmal geworfen. $X$ = Augenzahl. Wie groß ist $E(X)$?

Frage 2: Ein Spiel kostet $4$ €. Mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ gewinnt man $10$ €, sonst nichts. Ist das Spiel fair?

Frage 3: Warum hat die Varianz eine andere Einheit als $X$?

Frage 4: $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Berechne $E(3X + 2)$ und $\text{Var}(3X + 2)$.