Multiple-Choice-Test — Raten mit Binomialverteilung

Aufgabenstellung

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 10 Fragen. Jede Frage hat genau 4 Antwortmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist. Ein Schüler kennt keine der Antworten und rät bei jeder Frage zufällig. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen.

• (a) Begründe, dass $X$ binomialverteilt ist mit $X \sim B(10;\, 0{,}25)$.
• (b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Fragen richtig zu beantworten: $P(X = 5)$.
• (c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, mindestens 5 Fragen richtig zu beantworten: $P(X \geq 5)$. Zum Bestehen sind mindestens 5 richtige Antworten nötig.
• (d) Bestimme den Erwartungswert $E(X)$. Wie viele Fragen beantwortet man im Schnitt richtig?

Lösungsweg

Schritt 1: Begründung der Binomialverteilung (a)

Die Voraussetzungen einer Bernoulli-Kette werden geprüft:

1. Feste Anzahl von Versuchen: Es werden genau $n = 10$ Fragen beantwortet. ✓
2. Zwei Ausgänge: Jede Antwort ist entweder richtig (Treffer) oder falsch (Niete). ✓
3. Konstante Trefferwahrscheinlichkeit: Bei 4 Antwortmöglichkeiten und zufälligem Raten ist $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$ bei jeder Frage gleich. ✓
4. Unabhängigkeit: Das Ergebnis einer Frage beeinflusst nicht die anderen Fragen (reines Raten). ✓

$\boxed{X \sim B(10;\, 0{,}25)}$

Schritt 2: $P(X = 5)$ berechnen (b)

Mit der Formel der Binomialverteilung:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Für $k = 5$:

$P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^5$

$= 252 \cdot 0{,}0009766 \cdot 0{,}2373$

$\boxed{P(X = 5) \approx 0{,}0584 \approx 5{,}8\,\%}$

Schritt 3: $P(X \geq 5)$ über Gegenereignis (c)

$P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4) = 1 - \sum_{k=0}^{4} \binom{10}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{10-k}$

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0563 \approx 0{,}0563$

$P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^{9} = 10 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}0751 \approx 0{,}1877$

$P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^{8} = 45 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}1001 \approx 0{,}2816$

$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^{7} = 120 \cdot 0{,}01563 \cdot 0{,}1335 \approx 0{,}2503$

$P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^{6} = 210 \cdot 0{,}003906 \cdot 0{,}1780 \approx 0{,}1460$

Summe:

$P(X \leq 4) \approx 0{,}0563 + 0{,}1877 + 0{,}2816 + 0{,}2503 + 0{,}1460 \approx 0{,}9219$

Damit:

$P(X \geq 5) = 1 - 0{,}9219$

$\boxed{P(X \geq 5) \approx 0{,}0781 \approx 7{,}8\,\%}$

Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, den Test allein durch Raten zu bestehen, liegt bei nur etwa 7,8 %. Reines Raten ist also keine erfolgversprechende Strategie.

Schritt 4: Erwartungswert (d)

$E(X) = n \cdot p = 10 \cdot 0{,}25$

$\boxed{E(X) = 2{,}5}$

Im Durchschnitt beantwortet man durch reines Raten 2,5 von 10 Fragen richtig — das sind deutlich weniger als die 5 richtigen Antworten, die zum Bestehen nötig wären.

Ergebnis

Frage	Antwort
Modell	$X \sim B(10;\, 0{,}25)$ — Bernoulli-Kette
$P(X = 5)$	$\approx 0{,}0584$ ($5{,}8\,\%$)
$P(X \geq 5)$	$\approx 0{,}0781$ ($7{,}8\,\%$)
Erwartungswert	$E(X) = 2{,}5$ Fragen richtig