Gravitationsgesetz und Satellitenbahnen

Einführung

Von Newtons Apfel bis zu GPS-Satelliten — die Gravitation bestimmt die Struktur des Kosmos. In der Lektion Planetenbewegung hast du erfahren, warum Himmelskörper auf ihren Bahnen bleiben. Jetzt wird es quantitativ: Du lernst das Gravitationsgesetz in seiner mathematischen Form kennen und wendest es an, um Satellitenbahnen, Umlaufzeiten und Fluchtgeschwindigkeiten zu berechnen.

Dieses Wissen ist nicht nur abiturrelevant — es ist die Grundlage für Raumfahrt, Satellitennavigation und unser Verständnis des Universums.

Grundidee

Jede Masse zieht jede andere Masse an. Die Kraft zwischen zwei Körpern hängt dabei von genau zwei Dingen ab:

• Den Massen: Je schwerer die beiden Körper, desto stärker die Anziehung.
• Dem Abstand: Je weiter sie voneinander entfernt sind, desto schwächer die Kraft — und zwar mit dem Quadrat des Abstands.

Das bedeutet: Verdoppelst du den Abstand, sinkt die Kraft auf ein Viertel. Halbierst du den Abstand, vervierfacht sich die Kraft. Diese einfache Regel beschreibt alles — vom fallenden Apfel bis zur Umlaufbahn des Mondes.

Ein Satellit bleibt auf seiner Bahn, weil die Gravitationskraft genau die Zentripetalkraft liefert, die für die Kreisbewegung nötig ist. Aus diesem Gleichgewicht lassen sich Geschwindigkeit, Höhe und Umlaufdauer berechnen.

Erklärung

Das Gravitationsgesetz

Newton formulierte 1687 das universelle Gravitationsgesetz. Die Gravitationskraft zwischen zwei Massen $m_1$ und $m_2$ im Abstand $r$ beträgt:

$F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

Dabei ist $G$ die Gravitationskonstante:

$G = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}$

Wichtig: Der Abstand $r$ wird immer vom Mittelpunkt des einen zum Mittelpunkt des anderen Körpers gemessen — nicht von der Oberfläche.

Gravitationsfeldstärke

Die Gravitationsfeldstärke $g(r)$ beschreibt, wie stark das Gravitationsfeld einer Masse $M$ in der Entfernung $r$ ist:

$g(r) = G \cdot \frac{M}{r^2}$

An der Erdoberfläche ($r = R_E$) ergibt sich der bekannte Wert:

$g = G \cdot \frac{M_E}{R_E^2} \approx 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Satellit auf Kreisbahn

Ein Satellit der Masse $m$ umkreist einen Zentralkörper der Masse $M$ auf einer Kreisbahn mit Radius $r$. Die Gravitationskraft liefert genau die benötigte Zentripetalkraft:

$F_G = F_Z$

$G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r}$

Die Satellitenmasse $m$ kürzt sich heraus — die Bahngeschwindigkeit ist unabhängig von der Masse des Satelliten:

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$

Das ist ein zentrales Ergebnis: Alle Satelliten auf derselben Bahn haben dieselbe Geschwindigkeit, egal ob sie 100 kg oder 100 Tonnen wiegen.

Umlaufdauer

Die Umlaufdauer $T$ ergibt sich aus dem Bahnumfang $2\pi r$ und der Geschwindigkeit $v$:

$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}}$

Dies entspricht dem 3. Kepler’schen Gesetz in seiner quantitativen Form:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{G \cdot M} \cdot r^3$

Die Umlaufdauer hängt nur vom Bahnradius und der Zentralmasse ab.

Erste kosmische Geschwindigkeit

Die erste kosmische Geschwindigkeit $v_1$ ist die minimale Geschwindigkeit, die ein Objekt an der Erdoberfläche benötigt, um auf einer Kreisbahn zu bleiben. Man setzt $r = R_E$:

$v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M_E}{R_E}} = \sqrt{g \cdot R_E} \approx 7{,}9 \, \frac{\text{km}}{\text{s}}$

Das sind rund 28.400 km/h. Unterhalb dieser Geschwindigkeit stürzt ein Objekt zur Erde zurück.

Zweite kosmische Geschwindigkeit

Die zweite kosmische Geschwindigkeit $v_2$ ist die Fluchtgeschwindigkeit — die minimale Geschwindigkeit, um das Gravitationsfeld der Erde vollständig zu verlassen. Sie wird über den Energieerhaltungssatz hergeleitet (kinetische Energie = Betrag der Gravitationsenergie):

$\frac{1}{2} m v_2^2 = G \cdot \frac{M_E \cdot m}{R_E}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M_E}{R_E}} = \sqrt{2 \cdot g \cdot R_E} = v_1 \cdot \sqrt{2} \approx 11{,}2 \, \frac{\text{km}}{\text{s}}$

Geostationärer Satellit

Ein geostationärer Satellit hat eine Umlaufdauer von genau $T = 24 \, \text{h} = 86\,400 \, \text{s}$. Er bewegt sich synchron zur Erdrotation und scheint über einem festen Punkt am Äquator zu stehen.

Den Bahnradius erhält man durch Umstellen der Umlaufdauer-Formel:

$r = \sqrt[3]{\frac{G \cdot M_E \cdot T^2}{4\pi^2}} \approx 42\,164 \, \text{km}$

Die Höhe über der Erdoberfläche beträgt:

$h = r - R_E \approx 42\,164 \, \text{km} - 6\,371 \, \text{km} = 35\,793 \, \text{km}$

Wichtige Konstanten

Größe	Symbol	Wert
Gravitationskonstante	$G$	$6{,}674 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Erdmasse	$M_E$	$5{,}972 \cdot 10^{24} \, \text{kg}$
Erdradius	$R_E$	$6\,371 \, \text{km} = 6{,}371 \cdot 10^6 \, \text{m}$
Erdbeschleunigung	$g$	$9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$
Mondmasse	$M_{Mond}$	$7{,}349 \cdot 10^{22} \, \text{kg}$
Mondradius	$R_{Mond}$	$1\,737 \, \text{km} = 1{,}737 \cdot 10^6 \, \text{m}$

Beispiel aus dem Alltag

Die ISS — Labor im freien Fall

Die Internationale Raumstation kreist in einer Höhe von etwa $h = 400 \, \text{km}$ um die Erde. Wie schnell ist sie, und wie lange dauert ein Umlauf?

Bahnradius: $r = R_E + h = 6\,371 \, \text{km} + 400 \, \text{km} = 6\,771 \, \text{km} = 6{,}771 \cdot 10^6 \, \text{m}$

Bahngeschwindigkeit:

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_E}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24}}{6{,}771 \cdot 10^6}} \approx 7\,660 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 7{,}66 \, \frac{\text{km}}{\text{s}}$

Umlaufdauer:

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 6{,}771 \cdot 10^6}{7\,660} \approx 5\,550 \, \text{s} \approx 92{,}5 \, \text{min}$

Die ISS umrundet die Erde also alle eineinhalb Stunden — die Astronauten erleben 16 Sonnenaufgänge pro Tag.

Geostationärer TV-Satellit

Warum zeigt deine Satellitenschüssel immer in dieselbe Richtung? Weil der TV-Satellit auf einer geostationären Bahn in 35.793 km Höhe kreist. Er braucht genau 24 Stunden für eine Umrundung — genauso lang wie die Erde für eine Drehung. Von der Erde aus betrachtet steht er still am Himmel. Ohne diese Synchronisation müsste die Schüssel dem Satelliten ständig nachgeführt werden.

Anwendung

Aufgabe 1: Satellit in 800 km Höhe

Ein Erdbeobachtungssatellit kreist in $h = 800 \, \text{km}$ Höhe. Berechne seine Bahngeschwindigkeit und Umlaufdauer.

Lösung:

Bahnradius: $r = R_E + h = 6\,371 \, \text{km} + 800 \, \text{km} = 7\,171 \, \text{km} = 7{,}171 \cdot 10^6 \, \text{m}$

Bahngeschwindigkeit:

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_E}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24}}{7{,}171 \cdot 10^6}}$

$v = \sqrt{\frac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{7{,}171 \cdot 10^6}} = \sqrt{5{,}559 \cdot 10^7} \approx 7\,456 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 7{,}46 \, \frac{\text{km}}{\text{s}}$

Umlaufdauer:

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 7{,}171 \cdot 10^6}{7\,456} \approx 6\,041 \, \text{s} \approx 100{,}7 \, \text{min}$

Aufgabe 2: Geostationärer Orbit berechnen

Berechne den Bahnradius und die Höhe eines geostationären Satelliten aus $T = 24 \, \text{h}$.

Lösung:

$T = 24 \, \text{h} = 86\,400 \, \text{s}$

Aus der Umlaufdauer-Formel nach $r$ umgestellt:

$r = \sqrt[3]{\frac{G \cdot M_E \cdot T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24} \cdot (86\,400)^2}{4\pi^2}}$

$r = \sqrt[3]{\frac{3{,}986 \cdot 10^{14} \cdot 7{,}465 \cdot 10^9}{39{,}48}} = \sqrt[3]{\frac{2{,}975 \cdot 10^{24}}{39{,}48}}$

$r = \sqrt[3]{7{,}534 \cdot 10^{22}} \approx 4{,}216 \cdot 10^7 \, \text{m} \approx 42\,164 \, \text{km}$

Höhe über der Erdoberfläche:

$h = r - R_E = 42\,164 \, \text{km} - 6\,371 \, \text{km} = 35\,793 \, \text{km}$

Bahngeschwindigkeit:

$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \cdot 4{,}216 \cdot 10^7}{86\,400} \approx 3\,075 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 3{,}07 \, \frac{\text{km}}{\text{s}}$

Aufgabe 3: GRAIL-Mondsonde

Die NASA-Sonde GRAIL (Masse $m = 200 \, \text{kg}$) kreist in $h = 50 \, \text{km}$ Höhe um den Mond. Berechne die Gravitationskraft, die Bahngeschwindigkeit und die Umlaufdauer.

Lösung:

Bahnradius: $r = R_{Mond} + h = 1\,737 \, \text{km} + 50 \, \text{km} = 1\,787 \, \text{km} = 1{,}787 \cdot 10^6 \, \text{m}$

Gravitationskraft:

$F_G = G \cdot \frac{M_{Mond} \cdot m}{r^2} = \frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}349 \cdot 10^{22} \cdot 200}{(1{,}787 \cdot 10^6)^2}$

$F_G = \frac{9{,}807 \cdot 10^{14}}{3{,}193 \cdot 10^{12}} \approx 307 \, \text{N}$

Bahngeschwindigkeit:

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_{Mond}}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}349 \cdot 10^{22}}{1{,}787 \cdot 10^6}}$

$v = \sqrt{\frac{4{,}904 \cdot 10^{12}}{1{,}787 \cdot 10^6}} = \sqrt{2{,}744 \cdot 10^6} \approx 1\,656 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}66 \, \frac{\text{km}}{\text{s}}$

Umlaufdauer:

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 1{,}787 \cdot 10^6}{1\,656} \approx 6\,778 \, \text{s} \approx 113 \, \text{min}$

Aufgabe 4: Fluchtgeschwindigkeit vom Mond

Berechne die zweite kosmische Geschwindigkeit für den Mond.

Lösung:

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M_{Mond}}{R_{Mond}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}349 \cdot 10^{22}}{1{,}737 \cdot 10^6}}$

$v_2 = \sqrt{\frac{9{,}807 \cdot 10^{12}}{1{,}737 \cdot 10^6}} = \sqrt{5{,}647 \cdot 10^6} \approx 2\,376 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 2{,}38 \, \frac{\text{km}}{\text{s}}$

Zum Vergleich: Die Fluchtgeschwindigkeit vom Mond ist nur etwa ein Fünftel der Fluchtgeschwindigkeit von der Erde ($11{,}2 \, \text{km/s}$). Deshalb konnten die Apollo-Astronauten den Mond mit relativ kleinen Raketen wieder verlassen.

Typische Fehler

Viele verwechseln: Höhe $h$ und Bahnradius $r$.

Richtig ist: Der Bahnradius $r$ ist der Abstand vom Erdmittelpunkt bis zum Satelliten: $r = R_E + h$. Wer nur die Höhe $h$ in die Formeln einsetzt, erhält völlig falsche Ergebnisse. Das ist der häufigste Fehler in Klausuren.

Viele vergessen: Die Masse des Satelliten kürzt sich heraus.

Richtig ist: Beim Gleichsetzen von Gravitations- und Zentripetalkraft kürzt sich $m$ auf beiden Seiten. Die Bahngeschwindigkeit und Umlaufdauer hängen nicht von der Satellitenmasse ab. Ein Astronaut und eine tonnenschwere Raumstation auf derselben Bahn haben exakt dieselbe Geschwindigkeit.

Viele verwechseln: Einheiten bei km und m.

Richtig ist: In den Formeln muss $r$ in Metern eingesetzt werden, nicht in Kilometern. $R_E = 6\,371 \, \text{km} = 6{,}371 \cdot 10^6 \, \text{m}$. Kilometer in den Formeln führen zu Ergebnissen, die um Faktoren von $10^3$ falsch sind.

Viele denken: Die Gravitationskraft nimmt linear mit dem Abstand ab.

Richtig ist: Die Kraft nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab ($\frac{1}{r^2}$-Gesetz). Doppelter Abstand bedeutet nicht halbe Kraft, sondern ein Viertel der Kraft. Dreifacher Abstand ergibt ein Neuntel.

Viele glauben: Höhere Bahnen bedeuten größere Geschwindigkeiten.

Richtig ist: Es ist genau umgekehrt. Je höher die Bahn, desto langsamer der Satellit ($v = \sqrt{GM/r}$). Die ISS in 400 km Höhe fliegt mit 7,66 km/s, ein geostationärer Satellit in 35.793 km Höhe nur mit 3,07 km/s.

Zusammenfassung

Merke dir:

• Das Gravitationsgesetz $F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$ beschreibt die Anziehung zwischen beliebigen Massen — der Abstand $r$ wird vom Mittelpunkt aus gemessen.
• Auf einer Kreisbahn gilt $F_G = F_Z$, woraus sich die Bahngeschwindigkeit $v = \sqrt{GM/r}$ ergibt — sie ist unabhängig von der Satellitenmasse.
• Die Umlaufdauer $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ wächst mit dem Bahnradius — höhere Satelliten sind langsamer.
• Die erste kosmische Geschwindigkeit ($v_1 \approx 7{,}9 \, \text{km/s}$) ist die minimale Orbitalgeschwindigkeit, die zweite ($v_2 \approx 11{,}2 \, \text{km/s}$) die Fluchtgeschwindigkeit.
• Ein geostationärer Satellit kreist in $h \approx 35\,793 \, \text{km}$ Höhe synchron zur Erdrotation.
• Bei allen Berechnungen gilt: $r = R + h$ verwenden, Einheiten in SI (Meter, Kilogramm, Sekunden) umrechnen.

Quiz

Frage 1: Ein Satellit kreist auf einer Kreisbahn um die Erde. Was passiert mit seiner Bahngeschwindigkeit, wenn der Bahnradius verdoppelt wird?

a) Sie verdoppelt sich b) Sie halbiert sich c) Sie sinkt auf das $\frac{1}{\sqrt{2}}$-fache (ca. 71 %) ✓ d) Sie bleibt gleich

Frage 2: Welche Höhe über der Erdoberfläche hat ein geostationärer Satellit ungefähr?

a) 400 km b) 2.000 km c) 20.200 km d) 35.800 km ✓

Frage 3: Die Fluchtgeschwindigkeit $v_2$ ist um welchen Faktor größer als die erste kosmische Geschwindigkeit $v_1$?

a) $2$ b) $\sqrt{2}$ ✓ c) $\pi$ d) $\frac{1}{2}$

Frage 4: Ein Satellit der Masse 500 kg und ein Satellit der Masse 2.000 kg kreisen auf derselben Bahn um die Erde. Was stimmt?

a) Der schwerere Satellit ist schneller, weil er stärker angezogen wird b) Der leichtere Satellit ist schneller, weil er weniger Trägheit hat c) Beide haben die gleiche Bahngeschwindigkeit und Umlaufdauer ✓ d) Beide haben die gleiche Geschwindigkeit, aber unterschiedliche Umlaufdauern