Geostationärer Satellit — Umlaufbahn berechnen

Aufgabenstellung

Ein Kommunikationssatellit soll auf einer geostationären Umlaufbahn positioniert werden. Die folgenden Konstanten sind gegeben:

Masse der Erde: $M_E = 5{,}972 \cdot 10^{24}\;\text{kg}$
Erdradius: $R_E = 6\,371\;\text{km}$
Gravitationskonstante: $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\;\frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
(a) Erklären Sie, was unter einem geostationären Satelliten zu verstehen ist, und nennen Sie eine praktische Anwendung. (2 BE)
(b) Berechnen Sie den Bahnradius $r$ des geostationären Satelliten. (4 BE)
(c) Bestimmen Sie die Höhe $h$ des Satelliten über der Erdoberfläche. (2 BE)
(d) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit $v$ des Satelliten. (3 BE)
(e) Leiten Sie die 1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit an der Erdoberfläche) her und erklären Sie, warum ein geostationärer Satellit langsamer ist. (4 BE)

Ein geostationärer Satellit umkreist die Erde auf einer Kreisbahn in der Äquatorebene mit einer Umlaufdauer von exakt $T = 24\;\text{h} = 86\,400\;\text{s}$ . Da seine Umlaufdauer mit der Erdrotation übereinstimmt, steht er für einen Beobachter auf der Erde scheinbar still über einem festen Punkt am Äquator.

Praktische Anwendungen:

Telekommunikation: Satellitenfernsehen und Telefon (z. B. Astra, Hotbird)
Wetterbeobachtung: Permanente Überwachung derselben Erdregion (z. B. Meteosat)
Navigation: Ergänzung zu GPS-Systemen

$\boxed{\text{Geostationär: } T = 24\;\text{h}, \text{ Äquatorebene, erscheint ortsfest}}$

Schritt 2: Berechnung des Bahnradius (b)

Für eine stabile Kreisbahn muss die Gravitationskraft gleich der Zentripetalkraft sein:

$F_G = F_Z \quad \Longrightarrow \quad G \cdot \frac{M_E \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{4\pi^2 \cdot r}{T^2}$

Die Satellitenmasse $m$ kürzt sich heraus. Auflösen nach $r$ :

$G \cdot \frac{M_E}{r^2} = \frac{4\pi^2 \cdot r}{T^2}$

$r^3 = \frac{G \cdot M_E \cdot T^2}{4\pi^2}$

$r = \sqrt[3]{\frac{G \cdot M_E \cdot T^2}{4\pi^2}}$

Einsetzen der Werte:

$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24} \cdot (86\,400)^2}{4\pi^2}}$

Berechnung des Zählers:

$G \cdot M_E = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24} = 3{,}986 \cdot 10^{14}\;\frac{\text{m}^3}{\text{s}^2}$

$T^2 = (86\,400\;\text{s})^2 = 7{,}465 \cdot 10^{9}\;\text{s}^2$

$G \cdot M_E \cdot T^2 = 3{,}986 \cdot 10^{14} \cdot 7{,}465 \cdot 10^{9} = 2{,}976 \cdot 10^{24}\;\text{m}^3$

Division durch $4\pi^2 = 39{,}48$ :

$\frac{2{,}976 \cdot 10^{24}}{39{,}48} = 7{,}536 \cdot 10^{22}\;\text{m}^3$

Dritte Wurzel:

$r = \sqrt[3]{7{,}536 \cdot 10^{22}\;\text{m}^3} = 4{,}224 \cdot 10^{7}\;\text{m}$

$\boxed{r \approx 42\,240\;\text{km}}$

Schritt 3: Höhe über der Erdoberfläche (c)

Die Höhe $h$ ergibt sich aus der Differenz von Bahnradius und Erdradius:

$h = r - R_E$

$h = 42\,240\;\text{km} - 6\,371\;\text{km}$

$\boxed{h \approx 35\,870\;\text{km}}$

Der geostationäre Satellit befindet sich also in einer Höhe von rund $35\,900\;\text{km}$ über der Erdoberfläche — etwa 5,6 Erdradien.

Schritt 4: Bahngeschwindigkeit des Satelliten (d)

Die Bahngeschwindigkeit ergibt sich aus Umfang und Umlaufdauer:

$v = \frac{2\pi r}{T}$

$v = \frac{2\pi \cdot 4{,}224 \cdot 10^{7}\;\text{m}}{86\,400\;\text{s}}$

$v = \frac{2{,}654 \cdot 10^{8}\;\text{m}}{86\,400\;\text{s}}$

$\boxed{v \approx 3{,}07\;\frac{\text{km}}{\text{s}} = 3\,070\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

Schritt 5: 1. kosmische Geschwindigkeit und Vergleich (e)

Herleitung der 1. kosmischen Geschwindigkeit:

Die 1. kosmische Geschwindigkeit $v_1$ ist die minimale Geschwindigkeit für eine Kreisbahn direkt an der Erdoberfläche ( $r = R_E$ ). Gleichsetzen von Gravitations- und Zentripetalkraft:

$G \cdot \frac{M_E \cdot m}{R_E^2} = m \cdot \frac{v_1^2}{R_E}$

$v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M_E}{R_E}}$

Einsetzen:

$v_1 = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24}}{6{,}371 \cdot 10^{6}}}$

$v_1 = \sqrt{\frac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{6{,}371 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{6{,}255 \cdot 10^{7}}$

$\boxed{v_1 \approx 7{,}91\;\frac{\text{km}}{\text{s}}}$

Warum ist der geostationäre Satellit langsamer?

Allgemein gilt für die Kreisbahngeschwindigkeit:

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_E}{r}}$

Die Bahngeschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Wurzel des Bahnradius: Je weiter der Satellit von der Erde entfernt ist, desto schwächer ist die Gravitationskraft, und desto geringer muss die Zentripetalbeschleunigung (und damit die Geschwindigkeit) sein, um die Kreisbahn zu halten.

Mit $r_{\text{geo}} = 42\,240\;\text{km} \approx 6{,}6 \cdot R_E$ folgt:

$\frac{v_{\text{geo}}}{v_1} = \sqrt{\frac{R_E}{r_{\text{geo}}}} = \sqrt{\frac{1}{6{,}6}} \approx 0{,}39$

Der geostationäre Satellit fliegt also nur mit etwa 39 % der 1. kosmischen Geschwindigkeit.

$\boxed{v_{\text{geo}} \approx 3{,}07\;\frac{\text{km}}{\text{s}} \ll v_1 \approx 7{,}91\;\frac{\text{km}}{\text{s}}}$

Ergebnis

Größe	Wert
Bahnradius $r$	$42\,240\;\text{km}$
Höhe über Erdoberfläche $h$	$35\,870\;\text{km}$
Bahngeschwindigkeit $v_{\text{geo}}$	$3{,}07\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$
1. kosmische Geschwindigkeit $v_1$	$7{,}91\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$
Verhältnis $v_{\text{geo}} / v_1$	$\approx 0{,}39$