GRAIL-Mondsonde — Gravitation auf dem Mond

Aufgabenstellung

Die NASA-Mission GRAIL (Gravity Recovery and Interior Laboratory) entsandte 2011/2012 zwei Sonden zum Mond, um dessen Gravitationsfeld hochpräzise zu vermessen. Jede Sonde hatte eine Masse von $m = 200\;\text{kg}$ und umkreiste den Mond auf einer nahezu kreisförmigen Bahn in einer Höhe von $h = 50\;\text{km}$ über der Mondoberfläche.

Gegebene Konstanten:

• Mondmasse: $M_{Mond} = 7{,}349 \cdot 10^{22}\;\text{kg}$

• Mondradius: $R_{Mond} = 1\,737\;\text{km}$

• Gravitationskonstante: $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\;\frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$

• (a) Berechnen Sie die Gravitationskraft $F_G$, die der Mond auf eine GRAIL-Sonde in der Umlaufbahn ausübt. (3 BE)

• (b) Bestimmen Sie die Gravitationsfeldstärke $g_{Mond}$ in der Umlaufhöhe und an der Mondoberfläche. (3 BE)

• (c) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit $v$ und die Umlaufdauer $T$ der Sonde. (3 BE)

• (d) Berechnen Sie die Fluchtgeschwindigkeit (2. kosmische Geschwindigkeit) von der Mondoberfläche und vergleichen Sie mit dem Wert der Erde. (2 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Gravitationskraft auf die Sonde (a)

Der Bahnradius setzt sich aus Mondradius und Flughöhe zusammen:

$r = R_{Mond} + h = 1\,737\;\text{km} + 50\;\text{km} = 1\,787\;\text{km} = 1{,}787 \cdot 10^{6}\;\text{m}$

Die Gravitationskraft nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz:

$F_G = G \cdot \frac{M_{Mond} \cdot m}{r^2}$

Einsetzen:

$F_G = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{7{,}349 \cdot 10^{22} \cdot 200}{(1{,}787 \cdot 10^{6})^2}$

Berechnung des Zählers:

$G \cdot M_{Mond} \cdot m = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}349 \cdot 10^{22} \cdot 200 = 9{,}808 \cdot 10^{14}\;\text{N}\cdot\text{m}^2$

Berechnung des Nenners:

$r^2 = (1{,}787 \cdot 10^{6})^2 = 3{,}193 \cdot 10^{12}\;\text{m}^2$

$F_G = \frac{9{,}808 \cdot 10^{14}}{3{,}193 \cdot 10^{12}}$

$\boxed{F_G \approx 307\;\text{N}}$

Schritt 2: Gravitationsfeldstärke (b)

In der Umlaufhöhe ($r = 1{,}787 \cdot 10^{6}\;\text{m}$):

Die Gravitationsfeldstärke entspricht der Kraft pro Masse:

$g(r) = \frac{F_G}{m} = \frac{G \cdot M_{Mond}}{r^2}$

$g(r) = \frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}349 \cdot 10^{22}}{(1{,}787 \cdot 10^{6})^2}$

$g(r) = \frac{4{,}904 \cdot 10^{12}}{3{,}193 \cdot 10^{12}}$

$\boxed{g(r) \approx 1{,}54\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

An der Mondoberfläche ($r = R_{Mond} = 1{,}737 \cdot 10^{6}\;\text{m}$):

$g_{Mond} = \frac{G \cdot M_{Mond}}{R_{Mond}^2} = \frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}349 \cdot 10^{22}}{(1{,}737 \cdot 10^{6})^2}$

$g_{Mond} = \frac{4{,}904 \cdot 10^{12}}{3{,}017 \cdot 10^{12}}$

$\boxed{g_{Mond} \approx 1{,}63\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

Dies entspricht etwa $\frac{1}{6}$ der Erdbeschleunigung ($g_E = 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$) — ein Astronaut auf dem Mond wiegt also nur rund ein Sechstel seines Erdgewichts.

Schritt 3: Bahngeschwindigkeit und Umlaufdauer (c)

Bahngeschwindigkeit:

Für eine stabile Kreisbahn gilt $F_G = F_Z$:

$G \cdot \frac{M_{Mond} \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}$

Auflösen nach $v$ (die Masse $m$ der Sonde kürzt sich heraus):

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_{Mond}}{r}}$

$v = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}349 \cdot 10^{22}}{1{,}787 \cdot 10^{6}}}$

$v = \sqrt{\frac{4{,}904 \cdot 10^{12}}{1{,}787 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{2{,}745 \cdot 10^{6}}$

$\boxed{v \approx 1\,657\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}66\;\frac{\text{km}}{\text{s}}}$

Umlaufdauer:

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 1{,}787 \cdot 10^{6}}{1\,657}$

$T = \frac{1{,}123 \cdot 10^{7}}{1\,657}$

$T \approx 6\,776\;\text{s}$

$\boxed{T \approx 6\,776\;\text{s} \approx 1\;\text{h}\;53\;\text{min}}$

Die GRAIL-Sonden umrundeten den Mond also knapp alle zwei Stunden — deutlich schneller als ein Erdsatellit in vergleichbarer relativer Höhe, da der Mond wesentlich kleiner ist.

Schritt 4: Fluchtgeschwindigkeit vom Mond (d)

Die Fluchtgeschwindigkeit (2. kosmische Geschwindigkeit) ist die Geschwindigkeit, bei der die kinetische Energie gerade ausreicht, das Gravitationsfeld vollständig zu verlassen. Aus dem Energieerhaltungssatz:

$\frac{1}{2} m v_{flucht}^2 = G \cdot \frac{M_{Mond} \cdot m}{R_{Mond}}$

$v_{flucht} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M_{Mond}}{R_{Mond}}}$

Einsetzen:

$v_{flucht} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}349 \cdot 10^{22}}{1{,}737 \cdot 10^{6}}}$

$v_{flucht} = \sqrt{\frac{9{,}808 \cdot 10^{12}}{1{,}737 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{5{,}647 \cdot 10^{6}}$

$\boxed{v_{flucht,Mond} \approx 2{,}38\;\frac{\text{km}}{\text{s}}}$

Vergleich mit der Erde:

Die Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche beträgt:

$v_{flucht,Erde} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M_E}{R_E}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3{,}986 \cdot 10^{14}}{6{,}371 \cdot 10^{6}}} \approx 11{,}2\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$

Das Verhältnis:

$\frac{v_{flucht,Mond}}{v_{flucht,Erde}} = \frac{2{,}38}{11{,}2} \approx 0{,}21$

Die Fluchtgeschwindigkeit vom Mond beträgt nur etwa ein Fünftel der irdischen. Dies erklärt, warum der Mond keine nennenswerte Atmosphäre halten kann: Gasmoleküle mit ausreichender thermischer Geschwindigkeit entweichen leicht ins All.

$\boxed{v_{flucht,Mond} \approx 2{,}38\;\frac{\text{km}}{\text{s}} \quad \text{vs.} \quad v_{flucht,Erde} \approx 11{,}2\;\frac{\text{km}}{\text{s}}}$

Ergebnis

Größe	Wert
Gravitationskraft $F_G$	$307\;\text{N}$
Feldstärke in Umlaufhöhe $g(r)$	$1{,}54\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$
Feldstärke an Oberfläche $g_{Mond}$	$1{,}63\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$
Bahngeschwindigkeit $v$	$1{,}66\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$
Umlaufdauer $T$	$1\;\text{h}\;53\;\text{min}$
Fluchtgeschwindigkeit $v_{flucht,Mond}$	$2{,}38\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$
Fluchtgeschwindigkeit $v_{flucht,Erde}$	$11{,}2\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$