Energieerhaltungssatz anwenden

Einführung

Der Energieerhaltungssatz ist eines der mächtigsten Werkzeuge in der Physik. Er gilt universell - von der Achterbahn bis zur Planetenbewegung, von der Quantenmechanik bis zur Thermodynamik. Kein Experiment hat ihn je widerlegt.

Für die Abiturprüfung in Mechanik ist der Energieerhaltungssatz unverzichtbar. Er erlaubt es dir, Geschwindigkeiten zu berechnen, ohne Kräfte und Beschleunigungen im Detail zu kennen. Statt aufwendiger kinematischer Gleichungen reicht oft eine einzige Energiebilanz. In dieser Lektion lernst du, den Energieerhaltungssatz sicher auf typische Abituraufgaben anzuwenden - mit und ohne Reibung.

Grundidee

Stell dir eine Achterbahn vor. Der Wagen wird ganz nach oben gezogen und dann losgelassen. Ab diesem Moment passiert etwas Erstaunliches: Du musst nur die Höhe kennen, um die Geschwindigkeit an jedem Punkt der Strecke vorherzusagen. Die Masse des Wagens spielt dabei keine Rolle.

Warum? Weil Energie nie verloren geht. Die Gesamtenergie bleibt konstant. Was oben als Lageenergie gespeichert ist, wird unten zur Bewegungsenergie - und umgekehrt. Das ist wie ein Bankkonto: Wenn du von einem Konto (Höhe) abhebst, landet der Betrag auf dem anderen Konto (Geschwindigkeit). Die Summe ändert sich nicht.

Wenn Reibung ins Spiel kommt, wird ein Teil der mechanischen Energie in Wärme umgewandelt. Die Gesamtenergie bleibt trotzdem erhalten - aber die nützbare mechanische Energie nimmt ab. Das ist wie eine Gebühr bei der Überweisung: Das Geld verschwindet nicht, aber es steht dir nicht mehr zur Verfügung.

Erklärung

Wiederholung: Die beiden Energieformen

Die kinetische Energie (Bewegungsenergie) eines Körpers mit Masse $m$ und Geschwindigkeit $v$ beträgt:

$E_\text{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

Die potenzielle Energie (Lageenergie) eines Körpers der Masse $m$ in der Höhe $h$ über dem Bezugsniveau beträgt:

$E_\text{pot} = m \cdot g \cdot h$

Dabei ist $g = 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ die Erdbeschleunigung.

Der Energieerhaltungssatz (ohne Reibung)

In einem abgeschlossenen System ohne Reibung gilt: Die mechanische Gesamtenergie bleibt konstant.

$E_\text{ges} = E_\text{kin} + E_\text{pot} = \text{const}$

Das bedeutet für zwei beliebige Punkte 1 und 2 einer Bewegung:

$\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g h_2$

Geschwindigkeit aus Höhendifferenz

Löst man die Gleichung nach $v_2$ auf, ergibt sich:

$v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2g(h_1 - h_2)}$

Entscheidende Erkenntnis: Die Masse $m$ kürzt sich heraus! Die Geschwindigkeit hängt nur von der Höhendifferenz und der Anfangsgeschwindigkeit ab. Ein Elefant und eine Maus erreichen am Ende einer reibungsfreien Rutsche dieselbe Geschwindigkeit.

Startet der Körper aus der Ruhe ($v_1 = 0$), vereinfacht sich die Formel weiter:

$v_2 = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}$

Der Energieerhaltungssatz (mit Reibung)

In der Realität wirkt fast immer Reibung. Die Reibungskraft $F_R$ wirkt über den Weg $s$ und verrichtet die Reibungsarbeit:

$W_\text{Reib} = F_R \cdot s$

Die Energiebilanz lautet dann:

$E_\text{kin,1} + E_\text{pot,1} = E_\text{kin,2} + E_\text{pot,2} + W_\text{Reib}$

Die mechanische Energie am Anfang ist also größer als am Ende - die Differenz steckt in der Reibungswärme.

Energie im Looping

Ein besonders beliebtes Abiturthema ist der Looping mit Radius $r$. Am tiefsten Punkt (Boden, $h = 0$) hat der Wagen maximale kinetische Energie. Am höchsten Punkt (oben im Looping, $h = 2r$) muss er noch genügend Geschwindigkeit haben, um nicht herunterzufallen.

Am höchsten Punkt des Loopings muss die Zentripetalkraft mindestens so groß sein wie die Gewichtskraft:

$F_Z = \frac{m \cdot v_\text{oben}^2}{r} \geq m \cdot g$

Daraus folgt die Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt:

$v_\text{min} = \sqrt{g \cdot r}$

Mit dem Energieerhaltungssatz lässt sich daraus die nötige Geschwindigkeit am tiefsten Punkt berechnen:

$\frac{1}{2} m v_\text{unten}^2 = \frac{1}{2} m v_\text{oben}^2 + m g \cdot 2r$

Beispiel aus dem Alltag

Achterbahn: Vom höchsten Punkt zum Tal

Eine Achterbahn startet aus der Ruhe ($v_1 = 0$) in einer Höhe von $h_A = 40 \, \text{m}$. Wie schnell ist der Wagen am tiefsten Punkt ($h_2 = 0$)?

$v_2 = \sqrt{2g \cdot h_A} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 40 \, \text{m}} = \sqrt{784{,}8 \, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 28{,}0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Das sind etwa $28{,}0 \cdot 3{,}6 \approx 101 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}$ - und das ganz ohne Motor, nur durch die Schwerkraft.

Skisprung: Geschwindigkeit am Absprungpunkt

Ein Skispringer startet aus der Ruhe und fährt eine Schanze mit einer Höhendifferenz von $\Delta h = 55 \, \text{m}$ hinunter. Wie schnell ist er am Absprung (ohne Reibung)?

$v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 55 \, \text{m}} = \sqrt{1079{,}1 \, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 32{,}8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 118 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}$

In der Realität liegt die Geschwindigkeit wegen Luft- und Schneereibung etwas darunter - typisch sind etwa $90 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}$. Die Differenz zeigt, wie viel Energie durch Reibung verloren geht.

Anwendung

Aufgabe 1: Achterbahn - Geschwindigkeit am Boden

Ein Achterbahnwagen startet aus der Ruhe in der Höhe $h_A = 35 \, \text{m}$. Berechne die Geschwindigkeit am Punkt B auf Bodenniveau ($h_B = 0$). Reibung wird vernachlässigt.

Lösung:

Energieerhaltung zwischen A und B:

$E_\text{pot,A} = E_\text{kin,B}$

$m \cdot g \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_B^2$

Die Masse kürzt sich:

$g \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot v_B^2$

$v_B = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_A} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 35 \, \text{m}}$

$v_B = \sqrt{686{,}7 \, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 26{,}2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Aufgabe 2: Kraft auf eine Person am tiefsten Punkt

Der Wagen aus Aufgabe 1 durchfährt am Punkt B eine Kurve mit Radius $r = 20 \, \text{m}$. Welche Kraft wirkt auf eine Person mit $m = 80 \, \text{kg}$?

Lösung:

Am tiefsten Punkt der Kurve zeigt die Normalkraft nach oben und die Gewichtskraft nach unten. Die Normalkraft muss sowohl die Gewichtskraft kompensieren als auch die Zentripetalkraft liefern:

$F_N = m \cdot g + \frac{m \cdot v_B^2}{r}$

$F_N = 80 \, \text{kg} \cdot 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} + \frac{80 \, \text{kg} \cdot (26{,}2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{20 \, \text{m}}$

$F_N = 784{,}8 \, \text{N} + \frac{80 \cdot 686{,}44}{20} \, \text{N} = 784{,}8 \, \text{N} + 2745{,}8 \, \text{N}$

$F_N \approx 3531 \, \text{N}$

Die Person spürt das 4,5-fache ihres Körpergewichts ($\frac{3531}{784{,}8} \approx 4{,}5$). In der Pilotensprache sind das 4,5 g.

Aufgabe 3: Mit Reibung

Ein Wagen ($m = 400 \, \text{kg}$) fährt mit $v_1 = 25 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ auf einer ebenen Strecke ($h_1 = h_2$). Die Reibungskraft beträgt $F_R = 50 \, \text{N}$ und wirkt über $s = 100 \, \text{m}$. Berechne die Endgeschwindigkeit.

Lösung:

Energiebilanz auf gleicher Höhe ($E_\text{pot}$ fällt weg):

$\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_2^2 + F_R \cdot s$

Nach $v_2$ auflösen:

$v_2 = \sqrt{v_1^2 - \frac{2 \cdot F_R \cdot s}{m}}$

$v_2 = \sqrt{(25)^2 - \frac{2 \cdot 50 \, \text{N} \cdot 100 \, \text{m}}{400 \, \text{kg}}}$

$v_2 = \sqrt{625 - 25} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{600} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 24{,}5 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Die Reibung hat den Wagen nur um $0{,}5 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ verlangsamt - dafür wurde eine Reibungswärme von $W_\text{Reib} = 50 \cdot 100 = 5000 \, \text{J} = 5 \, \text{kJ}$ erzeugt.

Aufgabe 4: Senkrechter Wurf nach oben

Ein Ball ($m = 0{,}2 \, \text{kg}$) wird mit $v_0 = 20 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ senkrecht nach oben geworfen. Berechne die maximale Höhe.

Lösung:

Am höchsten Punkt ist $v = 0$. Energieerhaltung:

$\frac{1}{2} m v_0^2 = m g h_\text{max}$

Die Masse kürzt sich:

$h_\text{max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(20 \, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2 \cdot 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = \frac{400}{19{,}62} \, \text{m} \approx 20{,}4 \, \text{m}$

Auch hier kürzt sich die Masse heraus: Ein Tennisball und eine Bowlingkugel erreichen mit derselben Anfangsgeschwindigkeit dieselbe Höhe (ohne Luftwiderstand).

Typische Fehler

Fehler 1: Bezugsniveau vergessen. Die potenzielle Energie hängt vom gewählten Bezugsniveau ab. Du musst festlegen, wo $h = 0$ ist, und dieses Niveau konsequent beibehalten. Beliebt ist der tiefste Punkt der Bahn als Nullniveau.

Fehler 2: Die Masse nicht kürzen. In vielen Aufgaben ohne Reibung kürzt sich die Masse heraus. Wer das nicht erkennt, schleppt $m$ durch die gesamte Rechnung und macht sie unnötig kompliziert - oder scheitert an fehlenden Massenwerten.

Fehler 3: Reibungsarbeit mit falschem Vorzeichen. Die Reibungsarbeit wird der mechanischen Energie entzogen. In der Energiebilanz steht sie auf der Seite der Endenergie (als Verlust): $E_1 = E_2 + W_\text{Reib}$. Wer sie auf der falschen Seite einsetzt, erhält eine höhere Endgeschwindigkeit - physikalisch unsinnig.

Fehler 4: $v^2$ vergessen beim Umstellen. Beim Auflösen nach $v$ darf das Wurzelziehen nicht vergessen werden. Aus $v^2 = 600$ folgt $v = \sqrt{600} \approx 24{,}5$ und nicht $v = 600$ oder $v = 300$.

Fehler 5: Looping-Bedingung falsch ansetzen. Am höchsten Punkt des Loopings gilt $v_\text{min} = \sqrt{g \cdot r}$, nicht $v_\text{min} = \sqrt{2g \cdot r}$. Der Faktor 2 entsteht erst, wenn man den Energieerhaltungssatz vom tiefsten zum höchsten Punkt aufstellt - dort geht die Höhe $2r$ ein.

Zusammenfassung

Merke dir:

• Der Energieerhaltungssatz lautet: $E_\text{kin} + E_\text{pot} = \text{const}$ (ohne Reibung) bzw. $E_1 = E_2 + W_\text{Reib}$ (mit Reibung)
• Aus der Höhendifferenz folgt direkt die Geschwindigkeit: $v = \sqrt{v_0^2 + 2g \Delta h}$ - die Masse kürzt sich heraus
• Reibungsarbeit $W_\text{Reib} = F_R \cdot s$ verringert die verfügbare mechanische Energie
• Am höchsten Punkt eines Loopings muss mindestens $v_\text{min} = \sqrt{g \cdot r}$ gelten
• Immer ein Bezugsniveau für $h = 0$ festlegen und konsequent beibehalten
• Der Energieerhaltungssatz ist oft einfacher als die Anwendung von Kräften und Kinematik - er liefert Geschwindigkeiten direkt aus Höhen

Quiz

Frage 1: Ein Wagen startet aus der Ruhe in $h = 20 \, \text{m}$ Höhe. Wie schnell ist er am Boden (ohne Reibung)?

a) $10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ b) $14{,}0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ c) $19{,}8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ d) $28{,}0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Antwort

c) $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 20} = \sqrt{392{,}4} \approx 19{,}8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Frage 2: Warum erreichen ein leichter und ein schwerer Wagen am Ende einer reibungsfreien Bahn dieselbe Geschwindigkeit?

a) Weil schwere Körper mehr Reibung haben b) Weil die Masse sich im Energieerhaltungssatz herauskürzt c) Weil die Erdbeschleunigung für alle Körper gleich ist und die Energie keine Rolle spielt d) Weil beide dieselbe potenzielle Energie haben

Antwort

b) Im Energieerhaltungssatz steht auf beiden Seiten $m$: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$. Durch Division ergibt sich $v = \sqrt{2gh}$ - unabhängig von $m$. Antwort c) ist zwar richtig bezüglich der Erdbeschleunigung, aber die Begründung über Energie ist falsch formuliert.

Frage 3: Ein Looping hat den Radius $r = 10 \, \text{m}$. Wie groß ist die Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt?

a) $4{,}4 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ b) $9{,}9 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ c) $14{,}0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ d) $19{,}8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Antwort

b) $v_\text{min} = \sqrt{g \cdot r} = \sqrt{9{,}81 \cdot 10} = \sqrt{98{,}1} \approx 9{,}9 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Frage 4: Ein Wagen ($m = 500 \, \text{kg}$) fährt mit $30 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ und wird durch Reibung ($F_R = 200 \, \text{N}$, $s = 50 \, \text{m}$) abgebremst. Wie groß ist die Endgeschwindigkeit?

a) $20{,}0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ b) $26{,}5 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ c) $28{,}0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$ d) $29{,}3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Antwort

d) $v_2 = \sqrt{v_1^2 - \frac{2 F_R s}{m}} = \sqrt{900 - \frac{2 \cdot 200 \cdot 50}{500}} = \sqrt{900 - 40} = \sqrt{860} \approx 29{,}3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$