Würfelspiel — Varianz und Standardabweichung

Aufgabenstellung

Zwei faire Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Augensumme beider Würfel.

• (a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ als Tabelle auf. Geben Sie die Anzahl günstiger Ergebnisse aus allen $36$ möglichen Kombinationen an.
• (b) Berechnen Sie den Erwartungswert $E(X)$.
• (c) Berechnen Sie die Varianz $\text{Var}(X)$ mit der Formel $\text{Var}(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$.
• (d) Bestimmen Sie die Standardabweichung $\sigma$.
• (e) In welchem Bereich $[\mu - \sigma;\; \mu + \sigma]$ liegen die Ergebnisse? Welche Augensummen fallen in diesen Bereich, und wie hoch ist deren Gesamtwahrscheinlichkeit?

Lösungsweg

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung (a)

Beide Würfel haben je $6$ Seiten, es gibt $6 \times 6 = 36$ gleichwahrscheinliche Ergebnisse. Die Augensumme $X$ kann Werte von $2$ bis $12$ annehmen.

Anzahl der Kombinationen je Augensumme:

Summe $x_i$	Kombinationen	Anzahl	$P(X = x_i)$
$2$	$(1,1)$	$1$	$\frac{1}{36}$
$3$	$(1,2),\,(2,1)$	$2$	$\frac{2}{36}$
$4$	$(1,3),\,(2,2),\,(3,1)$	$3$	$\frac{3}{36}$
$5$	$(1,4),\,(2,3),\,(3,2),\,(4,1)$	$4$	$\frac{4}{36}$
$6$	$(1,5),\,(2,4),\,(3,3),\,(4,2),\,(5,1)$	$5$	$\frac{5}{36}$
$7$	$(1,6),\,(2,5),\,(3,4),\,(4,3),\,(5,2),\,(6,1)$	$6$	$\frac{6}{36}$
$8$	$(2,6),\,(3,5),\,(4,4),\,(5,3),\,(6,2)$	$5$	$\frac{5}{36}$
$9$	$(3,6),\,(4,5),\,(5,4),\,(6,3)$	$4$	$\frac{4}{36}$
$10$	$(4,6),\,(5,5),\,(6,4)$	$3$	$\frac{3}{36}$
$11$	$(5,6),\,(6,5)$	$2$	$\frac{2}{36}$
$12$	$(6,6)$	$1$	$\frac{1}{36}$

Kontrollsumme: $1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36$ ✓

Schritt 2: Erwartungswert berechnen (b)

$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$

$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36}$

$\quad + \; 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}$

$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36} = \frac{252}{36}$

$\boxed{E(X) = \mu = 7}$

Schritt 3: Varianz berechnen (c)

$\text{Var}(X) = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$

Die Abweichungen $(x_i - 7)^2$:

$x_i$	$x_i - 7$	$(x_i - 7)^2$	$P(X = x_i)$	$(x_i - 7)^2 \cdot P(X = x_i)$
$2$	$-5$	$25$	$\frac{1}{36}$	$\frac{25}{36}$
$3$	$-4$	$16$	$\frac{2}{36}$	$\frac{32}{36}$
$4$	$-3$	$9$	$\frac{3}{36}$	$\frac{27}{36}$
$5$	$-2$	$4$	$\frac{4}{36}$	$\frac{16}{36}$
$6$	$-1$	$1$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{36}$
$7$	$0$	$0$	$\frac{6}{36}$	$\frac{0}{36}$
$8$	$1$	$1$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{36}$
$9$	$2$	$4$	$\frac{4}{36}$	$\frac{16}{36}$
$10$	$3$	$9$	$\frac{3}{36}$	$\frac{27}{36}$
$11$	$4$	$16$	$\frac{2}{36}$	$\frac{32}{36}$
$12$	$5$	$25$	$\frac{1}{36}$	$\frac{25}{36}$

$\text{Var}(X) = \frac{25 + 32 + 27 + 16 + 5 + 0 + 5 + 16 + 27 + 32 + 25}{36} = \frac{210}{36}$

$\boxed{\text{Var}(X) = \frac{35}{6} \approx 5{,}83}$

Schritt 4: Standardabweichung (d)

$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{35}{6}}$

$\boxed{\sigma \approx 2{,}42}$

Schritt 5: Bereich $\mu \pm \sigma$ (e)

$\mu - \sigma = 7 - 2{,}42 = 4{,}58$

$\mu + \sigma = 7 + 2{,}42 = 9{,}42$

In den Bereich $[4{,}58;\; 9{,}42]$ fallen die ganzzahligen Augensummen $5, 6, 7, 8, 9$.

Deren Gesamtwahrscheinlichkeit:

$P(5 \leq X \leq 9) = \frac{4 + 5 + 6 + 5 + 4}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$

$\boxed{P(5 \leq X \leq 9) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%}$

Rund zwei Drittel aller Augensummen liegen im Bereich einer Standardabweichung um den Erwartungswert.

Ergebnis

Kenngröße	Wert
$E(X) = \mu$	$7$
$\text{Var}(X)$	$\frac{35}{6} \approx 5{,}83$
$\sigma$	$\sqrt{\frac{35}{6}} \approx 2{,}42$
Bereich $\mu \pm \sigma$	$[4{,}58;\; 9{,}42]$ — Summen $5$ bis $9$
$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)$	$\frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%$