Vektorprodukt und Flächenberechnung im Raum

Einführung

Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl — praktisch für Winkelberechnungen. Aber manchmal braucht man mehr: einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht. Genau das leistet das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt).

Mit dem Vektorprodukt berechnest du Flächeninhalte im Raum, findest Normalenvektoren von Ebenen und bestimmst Volumina von Körpern — alles mit einer einzigen Operation.

Grundidee

Stell dir zwei Holzbretter vor, die in verschiedene Richtungen zeigen. Du willst einen Nagel senkrecht durch beide hindurchstecken. In welche Richtung muss der Nagel zeigen? Diese Richtung ist das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$.

Das Ergebnis ist ein Vektor (kein Skalar), der:

• senkrecht auf $\vec{a}$ steht
• senkrecht auf $\vec{b}$ steht
• eine Länge hat, die dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms entspricht

Die Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Zeigefinger in Richtung $\vec{a}$ und der Mittelfinger in Richtung $\vec{b}$, so zeigt der Daumen in Richtung $\vec{a} \times \vec{b}$.

Erklärung

Definition mit der Determinantenformel

Das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ zweier Vektoren im $\mathbb{R}^3$ ist:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

Merkhilfe: Streiche gedanklich die $i$-te Zeile und schau auf die verbleibenden — das ergibt die $i$-te Komponente (mit wechselnden Vorzeichen).

Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2\cdot6 - 3\cdot5 \\ 3\cdot4 - 1\cdot6 \\ 1\cdot5 - 2\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12-15 \\ 12-6 \\ 5-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$

Probe: $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 1\cdot(-3) + 2\cdot6 + 3\cdot(-3) = -3 + 12 - 9 = 0$ ✓

Eigenschaften

Antikommutativität: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$

Die Reihenfolge bestimmt die Richtung. Tauscht man $\vec{a}$ und $\vec{b}$, dreht sich der Ergebnisvektor um.

Senkrechtstehen: $(\vec{a} \times \vec{b}) \perp \vec{a}$ und $(\vec{a} \times \vec{b}) \perp \vec{b}$

Das lässt sich immer per Skalarprodukt überprüfen (beide Skalarprodukte ergeben 0).

Parallelität: Sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ parallel (oder einer davon $\vec{0}$), so gilt $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$.

Betrag und Flächeninhalt

Der Betrag des Vektorprodukts entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird:

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\varphi$

wobei $\varphi$ der Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist.

Flächeninhalt des Parallelogramms: $A_{\square} = |\vec{a} \times \vec{b}|$

Flächeninhalt des Dreiecks (das halbe Parallelogramm): $A_{\triangle} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$

Beispiel: Dreieck mit Eckpunkten $A(1 \mid 0 \mid 0)$, $B(0 \mid 2 \mid 0)$, $C(0 \mid 0 \mid 3)$:

$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 2\cdot3-0\cdot0 \\ 0\cdot(-1)-(-1)\cdot3 \\ (-1)\cdot0-2\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7$

$A_\triangle = \frac{7}{2} = 3{,}5 \text{ FE}$

Normalenvektor einer Ebene

Ist eine Ebene durch einen Punkt $P$ und zwei Richtungsvektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ gegeben, so ist

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$

ein Normalenvektor der Ebene. Mit $\vec{n}$ kann man sofort die Ebenengleichung in Normalenform aufstellen.

Das Spatprodukt

Das Spatprodukt dreier Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ kombiniert Kreuzprodukt und Skalarprodukt:

$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

Sein Betrag ist das Volumen des Spats (Parallelepiped), den die drei Vektoren aufspannen:

$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Das Volumen des zugehörigen Tetraeders (Vierflächner) ist $V_T = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$.

Beispiel aus dem Alltag

Grundstücksvermessung: Ein dreieckiges Grundstück hat die GPS-Koordinaten (vereinfacht als Vektoren) $A(0 \mid 0 \mid 0)$, $B(50 \mid 10 \mid 0)$, $C(20 \mid 40 \mid 0)$ (in Metern).

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 50 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 20 \\ 40 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 10\cdot0 - 0\cdot40 \\ 0\cdot20 - 50\cdot0 \\ 50\cdot40 - 10\cdot20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1800 \end{pmatrix}$

$A_\triangle = \frac{1}{2} \cdot 1800 = 900 \text{ m}^2$

Das Grundstück hat eine Fläche von $900 \, \mathrm{m}^2$.

Ebenengleichung: Zwei Richtungsvektoren einer Ebene sind $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Der Normalenvektor:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 0\cdot(-1)-2\cdot1 \\ 2\cdot0-1\cdot(-1) \\ 1\cdot1-0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Anwendung

Aufgabe 1: Berechne $\vec{a} \times \vec{b}$ für $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$. Überprüfe das Ergebnis.

Lösung: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)-2\cdot4 \\ 2\cdot1-3(-1) \\ 3\cdot4-(-1)\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-8 \\ 2+3 \\ 12+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}$. Probe: $\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}) = -21-5+26=0$ ✓.

Aufgabe 2: Berechne die Fläche des Parallelogramms mit Seiten $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Lösung: $\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix} 0\cdot1-1\cdot3 \\ 1\cdot0-2\cdot1 \\ 2\cdot3-0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$. $A = |\vec{a}\times\vec{b}| = \sqrt{9+4+36} = 7$.

Typische Fehler

Zusammenfassung

Merke dir:

• Das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ liefert einen Vektor senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$
• Berechnung: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$
• Es ist antikommutativ: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
• Der Betrag $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms
• Dreiecksfläche = $\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$
• Das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren einer Ebene liefert sofort den Normalenvektor
• Das Spatprodukt $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ gibt das Volumen des Spats

Quiz

Frage 1: Warum ist $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ für jeden Vektor $\vec{a}$?

Frage 2: Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit $A(0\mid0\mid0)$, $B(3\mid0\mid0)$, $C(0\mid4\mid0)$.

Frage 3: Zwei Spannvektoren einer Ebene sind $\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$. Bestimme einen Normalenvektor.

Frage 4: Das Spatprodukt $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = 0$. Was bedeutet das geometrisch?