Extremwertaufgaben

Einführung

Extremwertaufgaben sind die Königsklasse der Analysis: Du wendest alles an, was du über Ableitungen und Kurvendiskussion gelernt hast, um ein reales Optimierungsproblem zu lösen. „Welche Maße maximieren das Volumen?”, „Welcher Preis bringt den höchsten Gewinn?”, „Welche Form verbraucht am wenigsten Material?” — solche Fragen sind ein Klassiker im Abitur und zeigen, wozu Analysis in der Praxis gut ist.

Grundidee

Stell dir vor, du hast ein Stück Pappe (z. B. 20 cm mal 30 cm) und willst daraus eine offene Schachtel falten, indem du an jeder Ecke ein Quadrat ausschneidest und die Seiten hochklappst. Je größer die Quadrate, desto höher wird die Schachtel — aber desto kleiner wird der Boden. Je kleiner die Quadrate, desto flacher die Schachtel, aber der Boden ist größer.

Es gibt einen Sweet Spot — eine bestimmte Quadratgröße, bei der das Volumen der Schachtel maximal wird. Genau diesen Sweet Spot zu finden, ist das Ziel einer Extremwertaufgabe.

Das Vorgehen folgt immer dem gleichen Schema:

1. Was soll optimiert werden? → Hauptbedingung (z. B. Volumen maximieren)
2. Welche Einschränkung gibt es? → Nebenbedingung (z. B. feste Papiergröße)
3. Alles in eine Variable umschreiben → Zielfunktion
4. Ableiten, Nullstellen finden, Maximum/Minimum bestimmen

Erklärung

Das 4-Schritte-Schema

Ausführliches Beispiel: Die offene Schachtel

Aus einem Stück Pappe ($20\,\text{cm} \times 30\,\text{cm}$) werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge $x$ ausgeschnitten und die Ränder hochgeklappt.

Schritt 1 – Hauptbedingung:

$V = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = (30 - 2x)(20 - 2x) \cdot x$

Schritt 2 – Nebenbedingung:

Die Nebenbedingung steckt hier bereits in der Geometrie: Die Papiergröße ist fest. Die Variable $x$ muss im Bereich $0 < x < 10$ liegen (sonst wäre die Breite negativ oder Null).

Schritt 3 – Zielfunktion:

$V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = x(600 - 100x + 4x^2) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$

Schritt 4 – Optimieren:

$V'(x) = 12x^2 - 200x + 600$

$V'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 12x^2 - 200x + 600 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 - 50x + 150 = 0$

$x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{6} = \frac{50 \pm \sqrt{700}}{6} = \frac{50 \pm 10\sqrt{7}}{6}$

$x_1 = \frac{50 - 10\sqrt{7}}{6} \approx 3{,}92 \qquad x_2 = \frac{50 + 10\sqrt{7}}{6} \approx 12{,}75$

Da $x < 10$ sein muss, kommt nur $x_1 \approx 3{,}92$ in Frage.

$V''(x) = 24x - 200 \qquad V''(3{,}92) \approx -106 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum}$

$V(3{,}92) \approx 4 \cdot 60{,}2 - 100 \cdot 15{,}4 + 600 \cdot 3{,}92 \approx 1056{,}3\,\text{cm}^3$

Beispiel mit expliziter Nebenbedingung

Aufgabe: Ein Bauer möchte mit 120 m Zaun eine rechteckige Weide an einer Hauswand einzäunen. Die Hauswand bildet eine Seite, sodass nur drei Seiten Zaun benötigen. Welche Maße maximieren die Fläche?

Schritt 1 – HB: $A = a \cdot b$ (Fläche maximieren)

Schritt 2 – NB: $a + 2b = 120$ (120 m Zaun für drei Seiten). Auflösen: $a = 120 - 2b$

Schritt 3 – Zielfunktion: $A(b) = (120 - 2b) \cdot b = 120b - 2b^2$

Schritt 4 – Optimieren:

$A'(b) = 120 - 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 30$

$A''(b) = -4 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum}$

$a = 120 - 2 \cdot 30 = 60$

Die Weide hat die Maße $60\,\text{m} \times 30\,\text{m}$ mit einer Fläche von $1800\,\text{m}^2$.

Beispiel aus dem Alltag

Dosendesign:

Ein Hersteller will Konservendosen mit einem Volumen von $500\,\text{cm}^3$ produzieren und dabei möglichst wenig Blech verwenden.

Eine zylindrische Dose hat Radius $r$ und Höhe $h$.

HB: Oberfläche minimieren: $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

NB: Volumen ist fest: $V = \pi r^2 h = 500$ → $h = \frac{500}{\pi r^2}$

Zielfunktion:

$O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}$

$O'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0$

$4\pi r^3 = 1000 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{\frac{1000}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx 4{,}30\,\text{cm}$

$h = \frac{500}{\pi \cdot 4{,}30^2} \approx 8{,}60\,\text{cm}$

Die optimale Dose hat $h = 2r$ — sie ist also genauso hoch wie breit.

Anwendung

Aufgabe 1: Ein Draht der Länge $40\,\text{cm}$ wird zu einem Rechteck gebogen. Welche Seitenlängen maximieren die Fläche?

Lösung:

NB: $2a + 2b = 40$ → $b = 20 - a$

Zielfunktion: $A(a) = a(20 - a) = 20a - a^2$

$A'(a) = 20 - 2a = 0$ → $a = 10$, also $b = 10$.

Das Quadrat mit Seitenlänge $10\,\text{cm}$ hat die maximale Fläche $100\,\text{cm}^2$.

Aufgabe 2: Einem Kreis mit Radius $r = 6$ wird ein Rechteck mit größter Fläche einbeschrieben. Bestimme die Seitenlängen.

Lösung:

HB: $A = 2x \cdot 2y = 4xy$

NB: $x^2 + y^2 = 36$ → $y = \sqrt{36 - x^2}$

Zielfunktion: $A(x) = 4x\sqrt{36 - x^2}$ für $0 < x < 6$

Einfacher: Maximiere $A^2(x) = 16x^2(36 - x^2) = 576x^2 - 16x^4$

$(A^2)'(x) = 1152x - 64x^3 = 0$ → $x^2 = 18$ → $x = 3\sqrt{2}$

$y = \sqrt{36 - 18} = 3\sqrt{2}$

Die Seitenlängen sind $2x = 2y = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ — ein Quadrat.

Typische Fehler

Zusammenfassung

• Extremwertaufgaben folgen dem 4-Schritte-Schema: Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion, Optimierung.
• Die Hauptbedingung beschreibt, was optimiert werden soll.
• Die Nebenbedingung liefert eine Einschränkung, die eine Variable eliminiert.
• Die Zielfunktion hängt nur noch von einer Variablen ab und wird mit $f'(x) = 0$ optimiert.
• Randwerte müssen immer geprüft werden — das globale Optimum kann am Rand liegen.
• Die Lösung muss im Sachkontext interpretiert werden.

Quiz

Frage 1: Was ist der Unterschied zwischen Hauptbedingung und Nebenbedingung?

Frage 2: Warum muss die Zielfunktion nur von einer Variablen abhängen?

Frage 3: Ein Rechteck hat den Umfang $U = 24$. Welche Seitenlängen maximieren die Fläche?

Frage 4: Warum muss man bei Extremwertaufgaben die Randwerte prüfen?