Kurvendiskussion

Einführung

Die Kurvendiskussion ist das Herzstück der Analysis im Abitur. Du untersuchst eine Funktion systematisch auf alle wichtigen Eigenschaften — Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Monotonie und mehr — und zeichnest daraus ein vollständiges Bild des Graphen. Fast jede Abi-Klausur enthält eine Kurvendiskussion, und die Methoden tauchen auch in Sachzusammenhängen (Optimierung, Modellierung) immer wieder auf.

Grundidee

Stell dir vor, du wanderst über ein Gebirge und siehst nur den Boden unter deinen Füßen — du hast keine Karte. Trotzdem kannst du einiges herausfinden:

• Wo bin ich auf Meereshöhe? → Das sind die Nullstellen.
• Geht es bergauf oder bergab? → Das ist die Monotonie (Vorzeichen von $f'$).
• Bin ich auf einem Gipfel oder in einem Tal? → Das sind die Extrempunkte ($f' = 0$ mit Vorzeichenwechsel).
• Wo ändert sich die Neigung am stärksten? → Das sind die Wendepunkte (die Krümmung wechselt).

Die Kurvendiskussion ist wie das Erstellen einer Wanderkarte, ohne das Gebirge von oben gesehen zu haben. Du nützt nur lokale Information (Steigung, Krümmung), um das globale Bild zu rekonstruieren.

Erklärung

Schritt 1: Definitionsbereich

Bestimme, für welche $x$-Werte die Funktion definiert ist. Bei ganzrationalen Funktionen (Polynomen) ist der Definitionsbereich immer $\mathbb{R}$.

Schritt 2: Symmetrie

Achsensymmetrie zur $y$-Achse: $f(-x) = f(x)$ (nur gerade Exponenten)

Punktsymmetrie zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$ (nur ungerade Exponenten)

Beispiel: $f(x) = x^4 - 2x^2$ hat nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Schritt 3: Verhalten im Unendlichen

Für große $|x|$ bestimmt der Term mit dem höchsten Exponenten das Verhalten:

Bei $f(x) = a_n x^n + \ldots$

• $n$ gerade, $a_n > 0$: $f(x) \to +\infty$ für $x \to \pm\infty$
• $n$ gerade, $a_n < 0$: $f(x) \to -\infty$ für $x \to \pm\infty$
• $n$ ungerade, $a_n > 0$: $f(x) \to -\infty$ für $x \to -\infty$ und $f(x) \to +\infty$ für $x \to +\infty$
• $n$ ungerade, $a_n < 0$: umgekehrt

Schritt 4: Nullstellen

Setze $f(x) = 0$ und löse nach $x$.

Methoden:

• Ausklammern: $f(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)$ → Nullstellen: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$
• Substitution: Bei biquadratischen Funktionen wie $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ setze $z = x^2$
• Polynomdivision: Wenn eine Nullstelle $x_0$ bekannt ist, teile durch $(x - x_0)$

Schritt 5: Extremstellen

Beispiel: $f(x) = x^3 - 3x$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

$f'(x) = 0$ → $x_1 = -1$, $x_2 = 1$

$f''(x) = 6x$

• $f''(-1) = -6 < 0$ → Hochpunkt bei $(-1 \mid 2)$
• $f''(1) = 6 > 0$ → Tiefpunkt bei $(1 \mid -2)$

Schritt 6: Monotonie

$f$ ist monoton steigend, wo $f'(x) > 0$.

$f$ ist monoton fallend, wo $f'(x) < 0$.

Die Nullstellen von $f'$ teilen die $x$-Achse in Intervalle. Prüfe in jedem Intervall das Vorzeichen von $f'$ (z. B. durch Einsetzen eines Testwertes).

Für $f(x) = x^3 - 3x$ mit $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$:

Intervall	$f'(x)$	Monotonie
$x < -1$	$+$	steigend
$-1 < x < 1$	$-$	fallend
$x > 1$	$+$	steigend

Schritt 7: Wendepunkte

Beispiel (Fortsetzung): $f''(x) = 6x = 0$ → $x = 0$

$f'''(x) = 6 \neq 0$ → Wendepunkt bei $(0 \mid 0)$.

• Für $x < 0$: $f''(x) < 0$ → Rechtskrümmung (Graph ist wie ein Berg gewölbt)
• Für $x > 0$: $f''(x) > 0$ → Linkskrümmung (Graph ist wie ein Tal gewölbt)

Zusammenfassung der Schritte

Schritt	Was	Wie
Definitionsbereich	Wo ist $f$ definiert?	Nenner $\neq 0$, Wurzeln $\geq 0$
Symmetrie	Achsen-/Punktsymmetrie	$f(-x) = f(x)$ oder $f(-x) = -f(x)$
Grenzverhalten	Was passiert für $x \to \pm\infty$?	Führender Term
Nullstellen	Wo schneidet $f$ die $x$-Achse?	$f(x) = 0$ lösen
Extremstellen	Hoch-/Tiefpunkte	$f'(x) = 0$ + VZW oder $f''$
Monotonie	Wo steigt/fällt $f$?	Vorzeichen von $f'$
Wendepunkte	Wo wechselt die Krümmung?	$f''(x) = 0$ + VZW oder $f'''$

Beispiel aus dem Alltag

Gewinnsituation eines Unternehmens:

Der Gewinn eines Start-ups wird modelliert durch:

$G(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x - 10$

wobei $x$ die Produktionsmenge in Tausend Stück ist.

Extremstellen: $G'(x) = -3x^2 + 18x - 15 = -3(x^2 - 6x + 5) = -3(x - 1)(x - 5)$

$G'(x) = 0$ → $x_1 = 1$, $x_2 = 5$

$G''(x) = -6x + 18$

• $G''(1) = 12 > 0$ → Tiefpunkt bei $x = 1$: $G(1) = -17$ (Verlust)
• $G''(5) = -12 < 0$ → Hochpunkt bei $x = 5$: $G(5) = 15$ (maximaler Gewinn)

Wendepunkt: $G''(x) = 0$ → $x = 3$: $G(3) = -1$

Bei $x = 3$ wechselt die Krümmung — das Gewinnwachstum nimmt ab diesem Punkt ab. Trotzdem steigt der Gewinn noch bis $x = 5$.

Anwendung

Aufgabe 1: Führe eine vollständige Kurvendiskussion für $f(x) = x^3 - 12x$ durch.

Lösung:

• Symmetrie: $f(-x) = -x^3 + 12x = -f(x)$ → punktsymmetrisch zum Ursprung
• Grenzverhalten: $f(x) \to -\infty$ für $x \to -\infty$ und $f(x) \to +\infty$ für $x \to +\infty$
• Nullstellen: $x(x^2 - 12) = 0$ → $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3{,}46$
• $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2) = 0$ → $x = \pm 2$
• $f''(x) = 6x$. $f''(-2) = -12 < 0$ → HP $(-2 \mid 16)$. $f''(2) = 12 > 0$ → TP $(2 \mid -16)$.
• Wendepunkt: $f''(x) = 6x = 0$ → $x = 0$, $f(0) = 0$ → WP $(0 \mid 0)$

Aufgabe 2: Bestimme die Extremstellen von $f(x) = x^4 - 8x^2$.

Antwort anzeigen

Bilde $f'(x)$ und klammere aus. Prüfe jeden Kandidaten mit der zweiten Ableitung oder dem VZW-Kriterium.

Lösung:

$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2) = 0$ → $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$

$f''(x) = 12x^2 - 16$

• $f''(0) = -16 < 0$ → HP $(0 \mid 0)$
• $f''(2) = 32 > 0$ → TP $(2 \mid -16)$
• $f''(-2) = 32 > 0$ → TP $(-2 \mid -16)$

Typische Fehler

Zusammenfassung

• Die Kurvendiskussion untersucht eine Funktion systematisch auf Definitionsbereich, Symmetrie, Grenzverhalten, Nullstellen, Extremstellen, Monotonie und Wendepunkte.
• Extremstellen: $f'(x) = 0$ (notwendig) und Vorzeichenwechsel von $f'$ (hinreichend).
• Wendepunkte: $f''(x) = 0$ (notwendig) und Vorzeichenwechsel von $f''$ (hinreichend).
• Die Monotonie ergibt sich aus dem Vorzeichen von $f'$, die Krümmung aus dem Vorzeichen von $f''$.
• Das Verhalten für $x \to \pm\infty$ wird vom führenden Term bestimmt.
• Symmetrie kann die Arbeit halbieren: Bei Achsensymmetrie genügt die Untersuchung für $x \geq 0$.

Quiz

Frage 1: Nenne die notwendige und die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle.

Antwort anzeigen

Notwendige Bedingung: $f'(x_0) = 0$. Hinreichende Bedingung: $f'$ hat bei $x_0$ einen Vorzeichenwechsel. Alternativ: $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) \neq 0$ (dann entscheidet das Vorzeichen von $f''$).

Frage 2: Warum hat $f(x) = x^3$ bei $x = 0$ keinen Extrempunkt, obwohl $f'(0) = 0$?

Antwort anzeigen

Weil $f'(x) = 3x^2 \geq 0$ für alle $x$. Es findet kein Vorzeichenwechsel statt — $f'$ ist links und rechts von $x = 0$ positiv (bzw. Null). Die Funktion steigt auf ganz $\mathbb{R}$, $x = 0$ ist ein Sattelpunkt.

Frage 3: Bestimme die Wendepunkte von $f(x) = x^4 - 6x^2 + 1$.

Antwort anzeigen

$f'(x) = 4x^3 - 12x$, $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 0$ → $x = \pm 1$. $f'''(x) = 24x$. $f'''(1) = 24 \neq 0$ und $f'''(-1) = -24 \neq 0$. Also Wendepunkte bei $(1 \mid -4)$ und $(-1 \mid -4)$.

Frage 4: Was sagt das Vorzeichen von $f''$ über den Graphen aus?

Antwort anzeigen

$f''(x) > 0$ bedeutet Linkskrümmung (der Graph ist nach oben geöffnet, wie ein Tal). $f''(x) < 0$ bedeutet Rechtskrümmung (der Graph ist nach unten geöffnet, wie ein Berg). Am Wendepunkt wechselt die Krümmungsrichtung.