Rechteck maximaler Fläche unter einer Parabel

Aufgabenstellung

Gegeben ist die nach unten geöffnete Parabel $f(x) = 4 - x^2$. Ein achsenparalleles Rechteck wird so unter die Parabel einbeschrieben, dass die untere Seite auf der $x$-Achse liegt und die oberen Ecken den Graphen von $f$ berühren.

• (a) Stellen Sie die Zielfunktion $A(x)$ für die Rechtecksfläche in Abhängigkeit von $x > 0$ auf. (3 BE)
• (b) Bestimmen Sie die Maße des Rechtecks mit maximaler Fläche. (5 BE)
• (c) Weisen Sie nach, dass ein Maximum vorliegt, und berechnen Sie die maximale Fläche. Welcher Anteil der Fläche unter der Parabel (für $f(x) \geq 0$) wird dabei überdeckt? (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Zielfunktion aufstellen (a)

Die oberen Ecken des Rechtecks liegen bei $(\pm x \mid f(x))$ mit $x > 0$.

Breite: $b = 2x$

Höhe: $h = f(x) = 4 - x^2$

Zielfunktion:

$A(x) = 2x \cdot (4 - x^2) = 8x - 2x^3$

Definitionsbereich: $0 < x < 2$ (damit $f(x) > 0$).

$\boxed{A(x) = 8x - 2x^3, \quad 0 < x < 2}$

Schritt 2: Optimales $x$ bestimmen (b)

$A'(x) = 8 - 6x^2$

Notwendige Bedingung: $A'(x) = 0$:

$8 - 6x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\boxed{x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}155}$

Schritt 3: Maße des Rechtecks (b)

Breite:

$b = 2x = \frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}309$

Höhe:

$h = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2{,}667$

$\boxed{b = \frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}31, \quad h = \frac{8}{3} \approx 2{,}67}$

Schritt 4: Nachweis Maximum (c)

$A''(x) = -12x$

$A''\!\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = -12 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = -8\sqrt{3} < 0$

$\boxed{A'' < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum bestätigt.}}$

Schritt 5: Maximale Fläche und Flächenanteil (c)

Maximale Rechtecksfläche:

$A_{\max} = 2 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{32\sqrt{3}}{9} \approx 6{,}158$

Fläche unter der Parabel (für $-2 \leq x \leq 2$):

$A_{\text{Parabel}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}$

$= \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}667$

Flächenanteil:

$\frac{A_{\max}}{A_{\text{Parabel}}} = \frac{\frac{32\sqrt{3}}{9}}{\frac{32}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 = 57{,}7\,\%$

$\boxed{A_{\max} = \frac{32\sqrt{3}}{9} \approx 6{,}16\,\text{FE}, \quad \text{Anteil} \approx 57{,}7\,\%}$

Ergebnis

Größe	Wert
Optimales $x$	$\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}155$
Breite $b$	$\frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}31$
Höhe $h$	$\frac{8}{3} \approx 2{,}67$
Maximale Fläche	$\frac{32\sqrt{3}}{9} \approx 6{,}16\,\text{FE}$
Anteil an Parabelfläche	$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 57{,}7\,\%$