Dose mit minimalem Materialverbrauch

Aufgabenstellung

Aus einem Stück Blech soll eine zylindrische Dose mit Deckel hergestellt werden, die ein Volumen von $V = 500\,\text{cm}^3$ fassen soll.

• (a) Stellen Sie die Zielfunktion $O(r)$ für die Gesamtoberfläche der Dose in Abhängigkeit vom Radius $r$ auf. (3 BE)
• (b) Bestimmen Sie den Radius $r$ und die Höhe $h$, für die der Materialverbrauch minimal wird. (5 BE)
• (c) Weisen Sie nach, dass es sich um ein Minimum handelt, und berechnen Sie den minimalen Materialverbrauch. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Nebenbedingung aufstellen (a)

Das Volumen des Zylinders beträgt:

$V = \pi r^2 h = 500 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{500}{\pi r^2}$

Schritt 2: Zielfunktion aufstellen (a)

Die Gesamtoberfläche (Mantel + 2 Kreise) ist:

$O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Einsetzen der Nebenbedingung:

$O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}$

$\boxed{O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \quad r > 0}$

Schritt 3: Optimaler Radius (b)

$O'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$

Notwendige Bedingung: $O'(r) = 0$:

$4\pi r = \frac{1000}{r^2} \quad \Rightarrow \quad 4\pi r^3 = 1000 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{1000}{4\pi} = \frac{250}{\pi}$

$r = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx \sqrt[3]{79{,}577} \approx 4{,}301\,\text{cm}$

$\boxed{r \approx 4{,}30\,\text{cm}}$

Schritt 4: Zugehörige Höhe (b)

$h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{500}{\pi \cdot \left(\frac{250}{\pi}\right)^{2/3}}$

Vereinfachung: $h = \frac{500}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{250}\right)^{2/3}$

Numerisch:

$h = \frac{500}{\pi \cdot 18{,}501} \approx \frac{500}{58{,}122} \approx 8{,}603\,\text{cm}$

Es gilt $h = 2r$, denn:

$h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{2 \cdot 250}{\pi r^2} = \frac{2r^3 \cdot \pi}{\pi r^2} = 2r$

$\boxed{h = 2r \approx 8{,}60\,\text{cm}}$

Schritt 5: Nachweis Minimum und Materialverbrauch (c)

Zweite Ableitung:

$O''(r) = 4\pi + \frac{2000}{r^3}$

Da $r > 0$, gilt $O''(r) > 0$ für alle zulässigen $r$.

$O''(r) > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Minimum bestätigt.}$

Minimaler Materialverbrauch:

$O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r} = 2\pi \cdot 18{,}501 + \frac{1000}{4{,}301}$

$\approx 116{,}24 + 232{,}49 \approx 348{,}73\,\text{cm}^2$

$\boxed{O_{\min} \approx 348{,}7\,\text{cm}^2}$

Ergebnis

Größe	Wert
Optimaler Radius $r$	$\sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx 4{,}30\,\text{cm}$
Optimale Höhe $h$	$2r \approx 8{,}60\,\text{cm}$
Verhältnis $h : r$	$2 : 1$
Minimale Oberfläche	$\approx 348{,}7\,\text{cm}^2$