Magnetismus und Lorentzkraft — Wenn Strom und Feld sich treffen

Einführung

Magnete kennen wir seit der Antike — Kompassnadeln nutzen das Erdmagnetfeld, seit Jahrtausenden. Doch erst im 19. Jahrhundert entdeckte Hans Christian Ørsted, dass ein Strom eine Kompassnadel ablenkt. Das war eine Revolution: Elektrizität und Magnetismus sind keine unabhängigen Phänomene, sondern zwei Seiten derselben Medaille. James Clerk Maxwell vereinte sie später in seinen Gleichungen zur Elektrodynamik.

Ohne Magnetismus und Lorentzkraft gäbe es weder Elektromotoren noch Generatoren, keine Lautsprecher, keine Festplatten, keine Teilchenbeschleuniger. Die Lorentzkraft ist eine der grundlegendsten Kräfte in der Technologie.

Grundidee

Ein Magnet erzeugt ein Magnetfeld — eine Art unsichtbare Kraftwirkung im Raum. In diesem Feld erfahren andere Magnete, aber auch bewegte elektrische Ladungen und stromführende Leiter eine Kraft. Je stärker das Feld und je größer die Geschwindigkeit der Ladungen, desto größer die Kraft. Die Richtung dieser Kraft steht senkrecht zur Bewegungsrichtung und zum Feld — das macht sie einzigartig: Sie ändert zwar die Richtung, aber nicht die Geschwindigkeit einer Ladung.

Erklärung

Magnetfeld und Feldlinien

Das Magnetfeld wird durch Feldlinien dargestellt. Sie verlaufen außerhalb des Magneten vom Nordpol zum Südpol, innerhalb des Magneten vom Südpol zum Nordpol — sie sind immer geschlossene Kurven (im Gegensatz zu elektrischen Feldlinien, die auf Ladungen enden).

Eigenschaften von Magnetfeldlinien:

• Dichte = Stärke des Feldes
• Tangente = Richtung des Feldes
• Schneiden sich nie

Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters

Ein gerader Leiter mit Strom erzeugt konzentrische Kreise als Feldlinien. Die Richtung folgt der Rechten-Hand-Regel: Hält man den Daumen der rechten Hand in Stromrichtung (technische Stromrichtung: von Plus nach Minus), zeigen die gebogenen Finger die Richtung der Magnetfeldlinien.

Wickelt man viele Windungen zu einer Spule (Solenoid), überlagern sich die Felder der einzelnen Windungen. Das Ergebnis ähnelt einem Stabmagneten: ein homogenes Feld im Inneren, Feldlinien aus dem Nordpol aus, in den Südpol ein.

Magnetische Flussdichte $B$

Die magnetische Flussdichte $B$ (umgangssprachlich auch „Magnetfeldstärke”) beschreibt, wie stark das Magnetfeld an einem Ort ist. Die SI-Einheit ist das Tesla ($\mathrm{T}$):

$[B] = 1\;\mathrm{T} = 1\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{A \cdot s^2}}$

Typische Werte: Erdmagnetfeld $\approx 50\;\mathrm{\mu T}$, starker Permanentmagnet $\approx 0{,}5\;\mathrm{T}$, MRT-Gerät $1{,}5$–$3\;\mathrm{T}$, Forschungsmagnete bis $\approx 45\;\mathrm{T}$.

Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

Ein gerader Leiter der Länge $l$, der den Strom $I$ trägt und sich in einem homogenen Magnetfeld $B$ senkrecht zu den Feldlinien befindet, erfährt die Kraft:

$F = B \cdot I \cdot l$

Die Richtung der Kraft steht senkrecht sowohl auf dem Strom als auch auf dem Magnetfeld. Zur Bestimmung dient die Drei-Finger-Regel der rechten Hand (auch UVW-Regel):

• Ursache (Daumen): Stromrichtung
• Vermittler (Zeigefinger): Magnetfeldrichtung (von N nach S)
• Wirkung (Mittelfinger): Kraftrichtung

Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung

Eine einzelne Ladung $q$, die sich mit Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu einem Magnetfeld $B$ bewegt, erfährt die Lorentzkraft:

$F = q \cdot v \cdot B$

Für den allgemeinen Fall (Winkel $\alpha$ zwischen $v$ und $B$):

$F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin(\alpha)$

Wichtige Eigenschaften:

• $F$ steht senkrecht auf $v$ und $B$ → keine Arbeit, keine Geschwindigkeitsänderung
• Positive und negative Ladungen werden in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt
• Bewegt sich die Ladung parallel zum Feld ($\alpha = 0$), ist $F = 0$

Kreisbahn im Magnetfeld

Weil die Lorentzkraft stets senkrecht zur Geschwindigkeit steht, wirkt sie als Zentripetalkraft. Geladene Teilchen bewegen sich im homogenen Magnetfeld auf Kreisbahnen. Gleichsetzen von Lorentzkraft und Zentripetalkraft:

$qvB = \frac{mv^2}{r}$

Auflösen nach dem Kreisbahnradius:

$r = \frac{mv}{qB}$

Schwerere Teilchen haben größere Radien, schnellere Teilchen auch.

Beispiel aus dem Alltag

Der Elektromotor

Im Elektromotor liegt eine stromdurchflossene Spule in einem Magnetfeld. Die Lorentzkraft auf die beiden parallelen Leiterseiten der Spule wirkt in entgegengesetzte Richtungen (die Ströme fließen entgegengesetzt) — es entsteht ein Drehmoment, das die Spule dreht. Ein Kommutator (Stromwender) sorgt dafür, dass die Stromrichtung in der Spule bei jeder halben Umdrehung umgekehrt wird, sodass das Drehmoment immer in dieselbe Richtung wirkt und der Motor sich kontinuierlich dreht.

Lautsprecher nutzen dasselbe Prinzip: Eine Schwingspule sitzt in einem kreisförmigen Magnetfeld. Fließt Wechselstrom (das Audiosignal) durch die Spule, wird sie vorwärts und rückwärts bewegt — diese Schwingung wird auf die Membran übertragen und erzeugt Schallwellen.

Anwendung

Teilchenbeschleuniger: Das Zyklotron

Im Zyklotron werden geladene Teilchen (z.B. Protonen) in einem homogenen Magnetfeld auf Halbkreisbahnen geführt. Ein elektrisches Wechselfeld zwischen den zwei D-förmigen Kammern beschleunigt das Teilchen bei jedem Übergang. Da der Radius mit der Energie zunimmt, spiralisiert das Teilchen nach außen — bis es das Zyklotron am Rand verlässt.

Die Umlauffrequenz (Zyklotronfrequenz) ist unabhängig von der Geschwindigkeit:

$f = \frac{qB}{2\pi m}$

Das macht die Synchronisation des Wechselfeldes einfach. Für relativistische Geschwindigkeiten muss die Frequenz angepasst werden (Synchrozyklotron).

Typische Fehler

„Das Magnetfeld des Erdinneren ist wie ein riesiger Stabmagnet.” Das stimmt als grobe Näherung, aber der physikalische Mechanismus ist anders: Das Erdmagnetfeld entsteht durch konvektive Strömungen elektrisch leitender Eisenschmelze im äußeren Erdkern (Geodynamo). Echte Stabmagnete würden oberhalb der Curie-Temperatur ($\approx 770°C$ für Eisen) ihre Magnetisierung verlieren — das Erdinnere ist deutlich heißer.

Verwechslung von $B$ und $H$: Im Schulunterricht wird $B$ (magnetische Flussdichte, Einheit Tesla) meist als „das” Magnetfeld bezeichnet. Genau genommen ist $\vec{H}$ die magnetische Feldstärke (Einheit $\mathrm{A/m}$) und $\vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}$ hängt noch vom Material ab. Für Vakuum gilt $\mu_r = 1$.

Zusammenfassung

Merke dir:

• Ströme und Magnete erzeugen Magnetfelder — dargestellt durch geschlossene Feldlinien.
• Die magnetische Flussdichte $B$ (in Tesla) beschreibt die Feldstärke.
• Kraft auf Leiter: $F = BIl$ (senkrecht zu $I$ und $B$, Drei-Finger-Regel).
• Lorentzkraft auf Ladung: $F = qvB\sin\alpha$ — senkrecht auf $v$ und $B$, keine Arbeit.
• Im homogenen Magnetfeld: Kreisbahn mit $r = mv/(qB)$.
• Anwendungen: Elektromotor, Lautsprecher, Teilchenbeschleuniger, Massenspektrometer, Halleffekt.

Quiz

Frage 1: Ein Proton ($q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C}$) bewegt sich mit $v = 5 \cdot 10^6\;\mathrm{m/s}$ senkrecht in ein Magnetfeld $B = 0{,}2\;\mathrm{T}$. Berechne die Lorentzkraft.

Frage 2: Erkläre, warum ein Teilchen im homogenen Magnetfeld auf einer Kreisbahn läuft und dabei weder schneller noch langsamer wird.

Frage 3: Warum werden im Massenspektrometer Ionen unterschiedlicher Masse auf Bahnen verschiedener Radien abgelenkt?

Frage 4: Was ist der Halleffekt und wie lässt sich damit die Polarität eines Magnetfeldes bestimmen?