Lorentzkraft — Teilchenbeschleunigung und Kreisbahn

Aufgabenstellung

Ausgangspunkt

Ein Proton bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v = 2{,}0 \cdot 10^6\;\mathrm{m/s}$ senkrecht in ein homogenes Magnetfeld der magnetischen Flussdichte $B = 0{,}50\;\mathrm{T}$.

Gegeben:

• Masse des Protons: $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}$
• Ladung des Protons: $q = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C}$
• Geschwindigkeit: $v = 2{,}0 \cdot 10^6\;\mathrm{m/s}$
• Magnetische Flussdichte: $B = 0{,}50\;\mathrm{T}$

Aufgaben

• (a) Berechne die Lorentzkraft, die das Magnetfeld auf das Proton ausübt. Welche Richtung hat die Kraft, wenn das Proton in $x$-Richtung fliegt und das Feld in $z$-Richtung zeigt? (3 BE)

• (b) Das Proton bewegt sich aufgrund der Lorentzkraft auf einer Kreisbahn. Leite den Ausdruck für den Kreisbahnradius $r$ her (durch Gleichsetzen von Lorentzkraft und Zentripetalkraft) und berechne $r$. (3 BE)

• (c) In einem Massenspektrometer werden Ionen mit derselben Ladung $q$ und derselben Geschwindigkeit $v$ in dasselbe Magnetfeld $B$ eingeschossen. Ein Ion hat die doppelte Masse des Protons ($m' = 2m_p$). Berechne seinen Kreisbahnradius $r'$ und erkläre, wie das Massenspektrometer Ionen verschiedener Masse trennt. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Lorentzkraft (a)

Die Lorentzkraft auf eine Ladung $q$, die sich mit Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu einem Magnetfeld $B$ bewegt, berechnet sich nach:

$F_L = q \cdot v \cdot B$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$F_L = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 2{,}0 \cdot 10^6\;\mathrm{m/s} \cdot 0{,}50\;\mathrm{T}$

$F_L = 1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 2{,}0 \cdot 10^6 \cdot 0{,}50\;\mathrm{N}$

$F_L = 1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 1{,}0 \cdot 10^6\;\mathrm{N}$

$\boxed{F_L = 1{,}60 \cdot 10^{-13}\;\mathrm{N}}$

Richtungsbestimmung mit der Drei-Finger-Regel (rechte Hand):

• Daumen (Strom/Bewegungsrichtung): $+x$-Richtung
• Zeigefinger (Magnetfeld $\vec{B}$): $+z$-Richtung
• Mittelfinger (Kraft): zeigt in $+y$-Richtung

Das Proton wird also in $y$-Richtung abgelenkt — senkrecht sowohl zur Bewegungsrichtung als auch zum Magnetfeld.

Wichtige Feststellung: Die Lorentzkraft steht stets senkrecht auf der Geschwindigkeit. Sie verrichtet daher keine Arbeit ($W = F \cdot s \cdot \cos 90° = 0$) und ändert nicht den Betrag der Geschwindigkeit, nur ihre Richtung.

Schritt 2: Kreisbahnradius (b)

Da die Lorentzkraft immer senkrecht zur Geschwindigkeit steht, wirkt sie als Zentripetalkraft und zwingt das Proton auf eine Kreisbahn.

Gleichsetzen von Lorentzkraft und Zentripetalkraft:

$F_L = F_{ZP}$

$q \cdot v \cdot B = \frac{m_p \cdot v^2}{r}$

Auflösen nach $r$ (beide Seiten durch $v$ dividieren):

$q \cdot B = \frac{m_p \cdot v}{r}$

$r = \frac{m_p \cdot v}{q \cdot B}$

Einsetzen der Werte:

$r = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg} \cdot 2{,}0 \cdot 10^6\;\mathrm{m/s}}{1{,}60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 0{,}50\;\mathrm{T}}$

Zähler: $1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 2{,}0 \cdot 10^6 = 3{,}34 \cdot 10^{-21}\;\mathrm{kg \cdot m/s}$

Nenner: $1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}50 = 8{,}0 \cdot 10^{-20}\;\mathrm{C \cdot T} = 8{,}0 \cdot 10^{-20}\;\mathrm{kg/s}$

$r = \frac{3{,}34 \cdot 10^{-21}}{8{,}0 \cdot 10^{-20}}\;\mathrm{m} = \frac{3{,}34}{80}\;\mathrm{m}$

$\boxed{r \approx 0{,}042\;\mathrm{m} = 4{,}2\;\mathrm{cm}}$

Einheitenkontrolle:

$\frac{\mathrm{kg \cdot m/s}}{\mathrm{C \cdot T}} = \frac{\mathrm{kg \cdot m/s}}{\mathrm{C \cdot kg/(A \cdot s^2)}} = \frac{\mathrm{kg \cdot m/s \cdot A \cdot s^2}}{\mathrm{C \cdot kg}} = \frac{\mathrm{m/s \cdot A \cdot s^2}}{\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{m \cdot A \cdot s}}{\mathrm{C}} = \mathrm{m} \quad \checkmark$

(da $1\;\mathrm{A} = 1\;\mathrm{C/s}$)

Schritt 3: Massenspektrometer — Ion doppelter Masse (c)

Kreisbahnradius für $m' = 2m_p$:

Aus der hergeleiteten Formel $r = \frac{mv}{qB}$ folgt direkt, dass der Radius proportional zur Masse ist:

$r' = \frac{m' \cdot v}{q \cdot B} = \frac{2m_p \cdot v}{q \cdot B} = 2 \cdot r$

Einsetzen:

$r' = 2 \cdot 4{,}2\;\mathrm{cm} = 8{,}4\;\mathrm{cm}$

$\boxed{r' = 8{,}4\;\mathrm{cm} = 2r}$

Funktionsprinzip des Massenspektrometers:

Im Massenspektrometer werden alle Ionen zunächst auf dieselbe Geschwindigkeit $v$ beschleunigt (z.B. durch einen elektrischen Selektor, der nur Ionen mit $v = E/B$ passieren lässt — „Geschwindigkeitsfilter” aus gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern).

Anschließend treten die Ionen in ein homogenes Magnetfeld ein. Da $r = mv/(qB)$ und alle Ionen gleiches $q$, gleiches $v$ und gleiches $B$ haben, ist der Radius ausschließlich von der Masse abhängig: $r \propto m$.

• Leichtere Ionen (kleine $m$): kleiner Radius, enger Bogen
• Schwerere Ionen (große $m$): großer Radius, weiter Bogen

Am Ende beschreiben alle Ionen einen Halbkreis und treffen einen Detektor (z.B. Fotofilm oder elektronischen Sensor) an verschiedenen Positionen. Der Auftreffpunkt erlaubt die direkte Berechnung der Masse. Auf diese Weise lassen sich z.B. Isotope desselben Elements (gleiche Ladungszahl, verschiedene Massenzahl) präzise trennen und messen.

Ergebnis

Teilaufgabe	Ergebnis
(a) Lorentzkraft	$F_L = 1{,}60 \cdot 10^{-13}\;\mathrm{N}$, Richtung: $+y$
(b) Kreisbahnradius Proton	$r \approx 4{,}2\;\mathrm{cm}$
(c) Kreisbahnradius doppelter Masse	$r' = 8{,}4\;\mathrm{cm} = 2r$
(c) Prinzip	$r \propto m$ bei gleichem $q$, $v$, $B$ — Ionen trennen sich nach Masse