Vollständige Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$.

Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch:

• (a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und untersuchen Sie das Symmetrieverhalten. (1 BE)
• (b) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. (3 BE)
• (c) Bestimmen Sie die Extrempunkte und deren Art. (4 BE)
• (d) Bestimmen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente. (3 BE)
• (e) Untersuchen Sie das Verhalten für $x \to \pm\infty$ und skizzieren Sie den Graphen. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Definitionsbereich und Symmetrie (a)

Definitionsbereich: $D_f = \mathbb{R}$ (ganzrationale Funktion).

Symmetrie: $f(-x) = -x^3 - 3x^2 + 4 \neq f(x)$ und $\neq -f(x)$.

$\boxed{\text{Keine Symmetrie zur } y\text{-Achse und zum Ursprung.}}$

Schritt 2: Nullstellen (b)

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 = 0$

Raten: $f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$ → $x_1 = -1$ ist Nullstelle.

Polynomdivision:

$(x^3 - 3x^2 + 4) : (x + 1) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

Also: $f(x) = (x + 1)(x - 2)^2$

$\boxed{x_1 = -1 \text{ (einfach)}, \quad x_2 = 2 \text{ (doppelt)}}$

Bei $x = -1$ Vorzeichenwechsel, bei $x = 2$ Berührung der $x$-Achse.

Schritt 3: Extrempunkte (c)

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

Notwendige Bedingung: $f'(x) = 0$:

$3x(x-2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0, \quad x_2 = 2$

Zweite Ableitung:

$f''(x) = 6x - 6$

Hinreichende Bedingung:

$f''(0) = -6 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Hochpunkt}$

$f''(2) = 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Tiefpunkt}$

Funktionswerte:

$f(0) = 4, \quad f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$

$\boxed{H(0 \mid 4) \text{ (lokales Maximum)}, \quad T(2 \mid 0) \text{ (lokales Minimum)}}$

Schritt 4: Wendepunkt und Wendetangente (d)

$f''(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$

Dritte Ableitung: $f'''(x) = 6 \neq 0$ → Wendepunkt bestätigt.

$f(1) = 1 - 3 + 4 = 2 \quad \Rightarrow \quad W(1 \mid 2)$

Wendetangente: $f'(1) = 3 - 6 = -3$

$t_W(x) = -3(x - 1) + 2 = -3x + 5$

$\boxed{W(1 \mid 2), \quad t_W(x) = -3x + 5}$

Schritt 5: Randverhalten (e)

Da der führende Koeffizient positiv ist und der Grad ungerade:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

$\boxed{f(x) \to -\infty \text{ für } x \to -\infty, \quad f(x) \to +\infty \text{ für } x \to +\infty}$

Schritt 6: Zusammenfassung der Kurvendiskussion

Ergebnis

Eigenschaft	Ergebnis
Definitionsbereich	$\mathbb{R}$
Symmetrie	keine
Nullstellen	$x_1 = -1$, $x_2 = 2$ (doppelt)
Hochpunkt	$H(0 \mid 4)$
Tiefpunkt	$T(2 \mid 0)$
Wendepunkt	$W(1 \mid 2)$
Wendetangente	$t_W(x) = -3x + 5$
Randverhalten	$x \to -\infty$: $f \to -\infty$; $x \to +\infty$: $f \to +\infty$