Flächenberechnung mit Integralen

Einführung

In der Lektion zum Integralbegriff hast du gelernt, dass das bestimmte Integral die orientierte Fläche unter einer Kurve berechnet. Aber was, wenn die Kurve teilweise unter der $x$-Achse verläuft? Oder wenn du die Fläche zwischen zwei Kurven bestimmen sollst? Diese Aufgabentypen kommen im Abitur ständig vor. In dieser Lektion lernst du, wie du Flächenberechnungen korrekt durchführst — Schritt für Schritt.

Grundidee

Stell dir ein Grundstück vor, dessen Ränder durch zwei geschwungene Zäune begrenzt werden. Du willst die Fläche des Grundstücks kennen. Dafür musst du wissen:

1. Wo verlaufen die Zäune? → Das sind die Funktionsgraphen.
2. Wo kreuzen sie sich? → Das sind die Schnittpunkte (Integrationsgrenzen).
3. Welcher Zaun ist oben, welcher unten? → Das bestimmt, welche Funktion du von welcher abziehst.

Die Kernidee: Die Fläche zwischen zwei Kurven ergibt sich, indem du die obere Funktion minus die untere Funktion integrierst. Die Fläche zwischen Kurve und $x$-Achse ist der Spezialfall, bei dem eine der beiden „Kurven” die $x$-Achse ($y = 0$) ist.

Erklärung

Orientiertes Integral vs. Flächeninhalt

Beispiel: $f(x) = x^2 - 1$ auf $[-2; 2]$

Nullstellen: $x^2 - 1 = 0$ → $x = \pm 1$

Das Integral ergibt:

$\int_{-2}^{2} (x^2 - 1)\, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-2}^{2} = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(-\frac{8}{3} + 2\right) = \frac{4}{3}$

Aber die Funktion ist für $-1 < x < 1$ negativ. Die positiven und negativen Anteile haben sich teilweise aufgehoben. Der tatsächliche Flächeninhalt ist größer.

Fläche zwischen Kurve und x-Achse

Schritt 1: Bestimme die Nullstellen von $f$ im Intervall $[a; b]$.

Schritt 2: Zerlege $[a; b]$ an den Nullstellen in Teilintervalle.

Schritt 3: Berechne das Integral über jedes Teilintervall und nimm den Betrag.

Schritt 4: Addiere alle Beträge.

Beispiel (Fortsetzung): $f(x) = x^2 - 1$ auf $[-2; 2]$, Nullstellen $x = \pm 1$

$A_1 = \left|\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1)\, dx\right| = \left|\left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-2}^{-1}\right| = \left|\left(-\frac{1}{3} + 1\right) - \left(-\frac{8}{3} + 2\right)\right| = \left|\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\right| = \frac{4}{3}$

$A_2 = \left|\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)\, dx\right| = \left|\left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-1}^{1}\right| = \left|\left(\frac{1}{3} - 1\right) - \left(-\frac{1}{3} + 1\right)\right| = \left|-\frac{4}{3}\right| = \frac{4}{3}$

$A_3 = \left|\int_{1}^{2} (x^2 - 1)\, dx\right| = \frac{4}{3}$

$A = A_1 + A_2 + A_3 = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$

Der Flächeninhalt beträgt $4$, während das orientierte Integral nur $\frac{4}{3}$ ergab.

Fläche zwischen zwei Kurven

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ auf $[a; b]$.

Beispiel: Fläche zwischen $f(x) = x + 2$ und $g(x) = x^2$

Schnittpunkte: $x + 2 = x^2$ → $x^2 - x - 2 = 0$ → $(x-2)(x+1) = 0$ → $x_1 = -1$, $x_2 = 2$

Welche liegt oben? Teste $x = 0$: $f(0) = 2$, $g(0) = 0$ → $f$ liegt oben.

$A = \int_{-1}^{2} [(x + 2) - x^2]\, dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2)\, dx$

$= \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2}$

$= \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4{,}5$

Sonderfall: Wechselnde Lage

Wenn sich die Kurven im Intervall kreuzen, muss man an den Schnittpunkten aufteilen — genau wie bei der $x$-Achse.

Beispiel: $f(x) = x^3$ und $g(x) = x$ auf $[-1; 1]$

Schnittpunkte: $x^3 = x$ → $x^3 - x = 0$ → $x(x-1)(x+1) = 0$ → $x = -1, 0, 1$

• Auf $[-1; 0]$: $f(x) = x^3 \geq x = g(x)$ (denn beide sind negativ und $x^3$ ist weniger negativ)
• Auf $[0; 1]$: $g(x) = x \geq x^3 = f(x)$

$A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x)\, dx + \int_{0}^{1} (x - x^3)\, dx$

$= \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}$

$= \left(0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 0\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Beispiel aus dem Alltag

Gewinnberechnung:

Ein Unternehmen hat die Erlösrate $E'(x) = 20 - 2x$ und die Kostenrate $K'(x) = 4 + x$ (Euro pro Stück), wobei $x$ die Menge ist.

Der Gewinn ist die Fläche zwischen den beiden Raten:

Schnittpunkt: $20 - 2x = 4 + x$ → $16 = 3x$ → $x = \frac{16}{3} \approx 5{,}33$

Für $0 \leq x \leq \frac{16}{3}$ liegt $E'$ über $K'$ (der Erlös je Stück ist größer als die Kosten je Stück):

$G = \int_0^{16/3} [(20 - 2x) - (4 + x)]\, dx = \int_0^{16/3} (16 - 3x)\, dx$

$= \left[16x - \frac{3}{2}x^2\right]_0^{16/3} = 16 \cdot \frac{16}{3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{256}{9} = \frac{256}{3} - \frac{128}{3} = \frac{128}{3} \approx 42{,}67\,\text{Euro}$

Anwendung

Aufgabe 1: Berechne den Flächeninhalt, den $f(x) = x^2 - 4$ mit der $x$-Achse einschließt.

Lösung: Nullstellen: $x = \pm 2$. Für $-2 < x < 2$ ist $f(x) < 0$.

$A = \left|\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\, dx\right| = \left|\left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_{-2}^{2}\right| = \left|\left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(-\frac{8}{3} + 8\right)\right| = \left|-\frac{32}{3}\right| = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$

Aufgabe 2: Berechne die Fläche zwischen $f(x) = x^2$ und $g(x) = 4$.

Lösung: Schnittpunkte: $x^2 = 4$ → $x = \pm 2$. $g$ liegt oben.

$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\, dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$

Aufgabe 3: Berechne die Fläche zwischen $f(x) = x^3$ und der $x$-Achse auf $[-1; 1]$.

Lösung:

$A = \left|\int_{-1}^{0} x^3\, dx\right| + \left|\int_{0}^{1} x^3\, dx\right| = \left|-\frac{1}{4}\right| + \left|\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Typische Fehler

Zusammenfassung

• Das bestimmte Integral liefert die orientierte Fläche — Bereiche unter der $x$-Achse zählen negativ.
• Für den Flächeninhalt zwischen Kurve und $x$-Achse: An Nullstellen aufteilen und Beträge bilden.
• Fläche zwischen zwei Kurven: $A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx$ — obere Funktion minus untere Funktion.
• Schnittpunkte exakt berechnen — sie sind die Integrationsgrenzen.
• Wenn die Kurven sich im Intervall kreuzen, an den Schnittpunkten aufteilen.
• Eine Skizze ist unverzichtbar, um die Lage der Kurven zu erkennen.

Quiz

Frage 1: Warum ist $\int_{-1}^{1} x^3\, dx = 0$ kein Widerspruch dazu, dass der Graph von $f(x) = x^3$ Fläche einschließt?

Frage 2: Wie berechnest du die Fläche zwischen $f(x)$ und $g(x)$, wenn sich die Kurven im Intervall kreuzen?

Frage 3: Berechne die Fläche zwischen $f(x) = x^2$ und $g(x) = x$ für $0 \leq x \leq 1$.

Frage 4: Warum ist eine Skizze bei Flächenberechnungen so wichtig?