Linsengleichung und Bildkonstruktion

Aufgabenstellung

Ein Gegenstand der Höhe $G = 3{,}0\;\text{cm}$ steht in einer Entfernung von $g = 12{,}0\;\text{cm}$ vor einer Sammellinse mit der Brennweite $f = 8{,}0\;\text{cm}$.

• (a) Berechnen Sie die Bildweite $b$ mithilfe der Linsengleichung. (3 BE)
• (b) Berechnen Sie die Bildgröße $B$ und den Abbildungsmaßstab $\beta$. (3 BE)
• (c) Beschreiben Sie die Eigenschaften des Bildes (reell/virtuell, aufrecht/umgekehrt, vergrößert/verkleinert). (3 BE)
• (d) Erklären Sie, was geschieht, wenn der Gegenstand innerhalb der Brennweite steht ($g < f$), und nennen Sie ein optisches Gerät, das diesen Effekt nutzt. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Bildweite berechnen (a)

Die Linsengleichung (Abbildungsgleichung für dünne Linsen) lautet:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$

Auflösen nach $b$:

$\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{g}$

$\frac{1}{b} = \frac{1}{8{,}0} - \frac{1}{12{,}0}$

Gemeinsamer Nenner (24):

$\frac{1}{b} = \frac{3}{24} - \frac{2}{24} = \frac{1}{24}$

$\boxed{b = 24{,}0\;\text{cm}}$

Das Bild entsteht $24{,}0\;\text{cm}$ hinter der Linse auf der gegenüberliegenden Seite des Gegenstands.

Schritt 2: Bildgröße und Abbildungsmaßstab (b)

Der Abbildungsmaßstab $\beta$ ist das Verhältnis von Bildweite zu Gegenstandsweite:

$\beta = \frac{b}{g} = \frac{24{,}0}{12{,}0}$

$\boxed{\beta = 2{,}0}$

Die Bildgröße $B$:

$B = \beta \cdot G = 2{,}0 \cdot 3{,}0\;\text{cm}$

$\boxed{B = 6{,}0\;\text{cm}}$

Das Bild ist doppelt so groß wie der Gegenstand.

Schritt 3: Eigenschaften des Bildes (c)

Für einen Gegenstand, der außerhalb der Brennweite ($g > f$) einer Sammellinse steht, gelten folgende Regeln:

Eigenschaft	Ergebnis	Begründung
Reell / Virtuell	Reell	$b > 0$: Das Bild entsteht auf der anderen Seite der Linse und kann auf einem Schirm aufgefangen werden.
Aufrecht / Umgekehrt	Umgekehrt (kopfstehend)	Bei reellen Bildern einer Sammellinse steht das Bild stets auf dem Kopf.
Vergrößert / Verkleinert	Vergrößert ($\beta = 2{,}0 > 1$)	Da $g$ zwischen $f$ und $2f$ liegt ($8 < 12 < 16$), ist das Bild vergrößert.

Spezialfall $g = 2f$: Bei $g = 16{,}0\;\text{cm}$ wäre $b = 16{,}0\;\text{cm}$ und $\beta = 1{,}0$ — das Bild wäre gleich groß. Für $g > 2f$ wird das Bild verkleinert.

Schritt 4: Gegenstand innerhalb der Brennweite (d)

Wenn der Gegenstand innerhalb der Brennweite steht ($g < f$), z. B. bei $g = 5{,}0\;\text{cm}$:

$\frac{1}{b} = \frac{1}{8{,}0} - \frac{1}{5{,}0} = \frac{5 - 8}{40} = -\frac{3}{40}$

$b = -13{,}3\;\text{cm}$

Die negative Bildweite bedeutet: Das Bild entsteht auf derselben Seite wie der Gegenstand. Es ist ein virtuelles Bild — es kann nicht auf einem Schirm aufgefangen werden, ist aber durch die Linse sichtbar.

Eigenschaften des virtuellen Bildes:

• Virtuell ($b < 0$)
• Aufrecht (nicht umgekehrt)
• Vergrößert ($|\beta| > 1$)

Optisches Gerät: Die Lupe nutzt genau diesen Effekt. Der Gegenstand wird innerhalb der Brennweite einer Sammellinse platziert. Der Betrachter sieht durch die Linse ein vergrößertes, aufrechtes, virtuelles Bild. Die Lupe erzeugt keinen Schirm-Effekt, sondern erweitert den scheinbaren Sehwinkel des Gegenstands.

Die Vergrößerung einer Lupe beträgt näherungsweise:

$V \approx \frac{s_0}{f}$

wobei $s_0 = 25\;\text{cm}$ die deutliche Sehweite ist. Für $f = 8{,}0\;\text{cm}$:

$V \approx \frac{25}{8{,}0} \approx 3{,}1\text{-fach}$

Ergebnis

Größe	Wert
Bildweite $b$	$24{,}0\;\text{cm}$
Abbildungsmaßstab $\beta$	$2{,}0$
Bildgröße $B$	$6{,}0\;\text{cm}$
Bildeigenschaften ($g > f$)	Reell, umgekehrt, vergrößert
Bildeigenschaften ($g < f$)	Virtuell, aufrecht, vergrößert (Lupe)