Brechung und Snelliussches Brechungsgesetz

Aufgabenstellung

Ein Lichtstrahl trifft aus Luft ( $n_1 = 1{,}00$ ) unter einem Einfallswinkel von $\alpha = 45°$ auf eine Glasoberfläche ( $n_2 = 1{,}52$ ).

(a) Berechnen Sie den Brechungswinkel $\beta$ mithilfe des Snelliusschen Brechungsgesetzes. (3 BE)
(b) Berechnen Sie den Grenzwinkel der Totalreflexion für den Übergang Glas → Luft. Erklären Sie, unter welchen Bedingungen Totalreflexion auftritt. (4 BE)
(c) Erklären Sie eine technische Anwendung der Totalreflexion und begründen Sie, warum sie dort eingesetzt wird. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Brechungswinkel berechnen (a)

Das Snelliussche Brechungsgesetz lautet:

$n_1 \cdot \sin\alpha = n_2 \cdot \sin\beta$

Auflösen nach $\beta$ :

$\sin\beta = \frac{n_1}{n_2} \cdot \sin\alpha$

Einsetzen:

$\sin\beta = \frac{1{,}00}{1{,}52} \cdot \sin 45°$

$\sin\beta = 0{,}6579 \cdot 0{,}7071 = 0{,}4652$

$\beta = \arcsin(0{,}4652)$

$\boxed{\beta \approx 27{,}7°}$

Der Lichtstrahl wird zum Lot hin gebrochen, da er vom optisch dünneren Medium (Luft, $n_1 = 1{,}00$ ) ins optisch dichtere Medium (Glas, $n_2 = 1{,}52$ ) übergeht. Dies ist die allgemeine Regel: Beim Übergang in ein dichteres Medium wird der Brechungswinkel kleiner als der Einfallswinkel.

Schritt 2: Grenzwinkel der Totalreflexion (b)

Totalreflexion tritt auf, wenn Licht vom optisch dichteren Medium (Glas) ins optisch dünnere Medium (Luft) übergeht und der Einfallswinkel den Grenzwinkel $\alpha_G$ überschreitet.

Am Grenzwinkel wird der Brechungswinkel $\beta = 90°$ (der gebrochene Strahl verläuft entlang der Grenzfläche). Für $\alpha > \alpha_G$ wird das Licht vollständig reflektiert — kein Licht tritt mehr ins dünnere Medium über.

Berechnung aus dem Snelliusschen Gesetz mit $\beta = 90°$ :

$n_2 \cdot \sin\alpha_G = n_1 \cdot \sin 90°$

Hier ist $n_2 = 1{,}52$ (Glas, dichteres Medium) und $n_1 = 1{,}00$ (Luft, dünneres Medium):

$\sin\alpha_G = \frac{n_1}{n_2} = \frac{1{,}00}{1{,}52} = 0{,}6579$

$\alpha_G = \arcsin(0{,}6579)$

$\boxed{\alpha_G \approx 41{,}1°}$

Bedingungen für Totalreflexion:

Das Licht muss vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium übergehen ( $n_2 > n_1$ ).
Der Einfallswinkel muss größer als der Grenzwinkel sein: $\alpha > \alpha_G$ .

Beim umgekehrten Übergang (dünn → dicht, z. B. Luft → Glas) kann Totalreflexion nicht auftreten, da $\frac{n_1}{n_2} > 1$ keinen gültigen Arcussinus ergibt.

Schritt 3: Technische Anwendung der Totalreflexion (c)

Glasfaserkabel (Lichtwellenleiter):

Ein Glasfaserkabel besteht aus einem Kern (Core) mit hohem Brechungsindex ( $n_{\text{Kern}} \approx 1{,}50$ ) und einem Mantel (Cladding) mit niedrigerem Brechungsindex ( $n_{\text{Mantel}} \approx 1{,}46$ ). Licht, das unter einem flachen Winkel in die Faser eintritt, trifft an der Grenzfläche Kern/Mantel unter einem Winkel, der den Grenzwinkel überschreitet. Durch wiederholte Totalreflexion wird das Licht im Kern gehalten und über Kilometer transportiert — nahezu verlustfrei.

Warum Totalreflexion? Im Gegensatz zu einer normalen Spiegelung (die immer mit Absorptionsverlusten verbunden ist) ist die Totalreflexion ein verlustfreier Prozess: 100 % des Lichts werden reflektiert. Daher eignet sie sich ideal für die Signalübertragung über große Distanzen. Glasfaserkabel übertragen Daten mit Lichtgeschwindigkeit und erreichen Bandbreiten, die Kupferkabel um Größenordnungen übertreffen.

$\boxed{\text{Totalreflexion im Glasfaserkabel: verlustfreie Lichtleitung durch wiederholte Reflexion}}$

Ergebnis

Größe	Wert
Brechungswinkel (Luft → Glas)	$\beta \approx 27{,}7°$
Grenzwinkel (Glas → Luft)	$\alpha_G \approx 41{,}1°$
Anwendung	Glasfaserkabel — verlustfreie Lichtleitung durch Totalreflexion