Differentialgleichungen – Wenn die Ableitung die Funktion beschreibt

Einführung

Wie schnell kühlt eine heiße Tasse ab? Wie viel einer radioaktiven Substanz bleibt nach 1000 Jahren übrig? Wie wächst eine Bakterienpopulation? All diese Fragen haben etwas gemeinsam: Die Änderungsrate einer Größe hängt von der Größe selbst ab.

Solche Zusammenhänge beschreibt eine Differentialgleichung (DGL) – eine Gleichung, in der eine Funktion und ihre Ableitungen gemeinsam auftreten. Differentialgleichungen sind das wichtigste mathematische Werkzeug der Naturwissenschaften.

Grundidee

Stell dir eine Bakterienkolonie vor: Je mehr Bakterien vorhanden sind, desto schneller wächst die Kolonie. Doppelt so viele Bakterien → doppelt so schnelle Vermehrung.

Das heißt: Die Wachstumsrate $y'$ ist proportional zur aktuellen Anzahl $y$:

$y' = k \cdot y$

Das ist eine Differentialgleichung. Du suchst keine Zahl als Lösung, sondern eine Funktion $y(t)$, deren Ableitung das Doppelte (oder $k$-fache) der Funktion selbst ist.

Die Lösung: $y(t) = C \cdot e^{kt}$ – die Exponentialfunktion. Du erkennst: Die Ableitung von $e^{kt}$ ist $k \cdot e^{kt}$ – das passt genau.

Erklärung

Was ist eine Differentialgleichung?

Eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung hat die Form:

$y' = f(x, y)$

Sie verknüpft die Funktion $y(x)$ mit ihrer Ableitung $y'(x)$. „Lösen” bedeutet: Die Funktion $y(x)$ finden, die diese Gleichung erfüllt.

Die allgemeine Lösung enthält eine freie Konstante $C$ (kommt vom Integrieren). Erst durch eine Anfangsbedingung (z. B. $y(0) = y_0$) bestimmt man $C$ und erhält die spezielle Lösung – das Anfangswertproblem.

Trennung der Variablen (separable DGL)

Viele DGL der Form $y' = g(x) \cdot h(y)$ lassen sich durch Trennung der Variablen lösen:

Beispiel – exponentieller Zerfall: $y' = -k \cdot y$ mit $k > 0$.

$\frac{dy}{y} = -k\,dx \quad \Rightarrow \quad \int \frac{dy}{y} = \int -k\,dx$

$\ln|y| = -kx + C_1 \quad \Rightarrow \quad y = e^{-kx+C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-kx}$

Setze $C = e^{C_1}$: $\quad \boxed{y = C \cdot e^{-kx}}$

Das Anfangswertproblem

Gegeben sei $y' = -ky$ mit Anfangsbedingung $y(0) = y_0$.

Einsetzen in die allgemeine Lösung: $y_0 = C \cdot e^0 = C$. Also: $y = y_0 \cdot e^{-kx}$.

Halbwertszeit: Wann ist $y = \frac{y_0}{2}$?

$\frac{y_0}{2} = y_0 \cdot e^{-k t_{1/2}} \quad \Rightarrow \quad e^{-kt_{1/2}} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$

Das Newton’sche Abkühlungsgesetz

Ein Körper der Temperatur $T(t)$ kühlt in einem Raum der Temperatur $T_\infty$ ab. Die Abkühlungsrate ist proportional zur Temperaturdifferenz:

$T'(t) = -k \cdot (T(t) - T_\infty)$

Substituiere $u = T - T_\infty$ (Temperaturdifferenz):

$u' = -k \cdot u \quad \Rightarrow \quad u = C \cdot e^{-kt}$

Also: $T(t) = T_\infty + C \cdot e^{-kt}$.

Anfangsbedingung $T(0) = T_0$: $C = T_0 - T_\infty$.

$\boxed{T(t) = T_\infty + (T_0 - T_\infty) \cdot e^{-kt}}$

Beispiel: Kaffee kühlt von 80 °C in einem 20 °C-Raum. $T_0 = 80$, $T_\infty = 20$. Nach 10 min: $T(10) = 65$ °C. Bestimme $k$:

$65 = 20 + 60 \cdot e^{-10k} \quad \Rightarrow \quad e^{-10k} = \frac{45}{60} = 0{,}75 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{\ln 0{,}75}{10} \approx 0{,}0288$

Logistisches Wachstum (qualitativ)

Bakterien können nicht unbegrenzt wachsen – irgendwann begrenzt Platz und Nahrung das Wachstum. Das logistische Modell berücksichtigt das:

$y' = k \cdot y \cdot \left(1 - \frac{y}{K}\right)$

$K$ ist die Kapazitätsgrenze. Für kleine $y \ll K$ verhält sich das System wie exponentielles Wachstum. Nähert sich $y$ dem Wert $K$, verlangsamt sich das Wachstum und $y$ nähert sich asymptotisch $K$ an. Die Lösung (S-Kurve) heißt logistische Funktion.

Beispiel aus dem Alltag

Radioaktiver Zerfall: Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von $t_{1/2} = 5730$ Jahren.

Zerfallskonstante: $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4}$ pro Jahr.

Ein Fundstück enthält noch 35 % des ursprünglichen C-14. Wie alt ist es?

$0{,}35 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \quad \Rightarrow \quad e^{-\lambda t} = 0{,}35$

$t = -\frac{\ln 0{,}35}{\lambda} = \frac{1{,}0498}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 8677 \text{ Jahre}$

Das Fundstück ist ca. 8700 Jahre alt.

Populationswachstum: Eine Bakterienkultur startet mit 1000 Bakterien. Alle 20 Minuten verdoppelt sich die Anzahl. Wie viele sind nach 3 Stunden da?

$k = \frac{\ln 2}{20 \text{ min}}$, $t = 180$ min: $N(180) = 1000 \cdot e^{k \cdot 180} = 1000 \cdot 2^9 = 512000$ Bakterien.

Anwendung

Aufgabe 1: Löse $y' = 3y$ mit $y(0) = 5$.

Lösung: Allgemeine Lösung: $y = Ce^{3x}$. Anfangsbedingung: $5 = C \cdot e^0 = C$. Spezielle Lösung: $y = 5e^{3x}$.

Aufgabe 2: Löse $y' = -2y + 4$ durch Substitution $u = y - 2$.

Lösung: $u' = y' = -2y + 4 = -2(y-2) = -2u$. Also $u = Ce^{-2x}$, $y = 2 + Ce^{-2x}$.

Typische Fehler

Zusammenfassung

Merke dir:

• Eine DGL verknüpft eine Funktion mit ihrer Ableitung: $y' = f(x, y)$
• Die Lösung ist eine Funktion, nicht eine Zahl; die allgemeine Lösung enthält eine Konstante $C$
• Trennung der Variablen: $\frac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx$, dann beide Seiten integrieren
• Das Anfangswertproblem bestimmt $C$ aus einer Anfangsbedingung $y(x_0) = y_0$
• $y' = ky$ hat die Lösung $y = Ce^{kx}$ – das Grundmuster für Wachstum ($k > 0$) und Zerfall ($k < 0$)
• Das Newton’sche Abkühlungsgesetz $T' = -k(T - T_\infty)$ führt auf dieselbe Struktur

Quiz

Frage 1: Welche Funktion löst die DGL $y' = -0{,}5y$?

Frage 2: Eine Substanz zerfällt mit der Halbwertszeit 100 Jahre. Schreibe die DGL auf und gib die Zerfallskonstante an.

Frage 3: Warum enthält die allgemeine Lösung einer DGL 1. Ordnung genau eine Konstante $C$?

Frage 4: Ein Gegenstand (Anfangstemperatur 90 °C) kühlt in einem 10 °C-Raum ab. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur 70 °C. Bestimme die Abkühlkonstante $k$.