Das Binärsystem — Wie Computer zählen

Einführung

Jeder Computer — vom Smartphone bis zum Superrechner — arbeitet letztlich nur mit zwei Zuständen: Strom an oder Strom aus. 1 oder 0. Das ist kein gestalterisches Prinzip, sondern eine physikalische Tatsache: Transistoren, die Grundbausteine moderner Chips, funktionieren wie winzige Schalter. Entweder leiten sie Strom (1) oder nicht (0).

Aus diesem simplen Entweder-oder entsteht alles, was Computer können: Zahlen berechnen, Texte speichern, Bilder anzeigen, Musik abspielen. Wie das funktioniert, zeigt diese Lektion.

Grundidee

Im Alltag verwendest du das Dezimalsystem — die Basis 10. Du hast zehn Ziffern (0–9), und jede Stelle in einer Zahl ist das Zehnfache der Stelle rechts davon. Die Zahl 347 bedeutet: 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1.

Im Binärsystem (Basis 2) gibt es nur zwei Ziffern: 0 und 1. Jede Stelle ist das Doppelte der Stelle rechts davon. Die binäre Zahl 1011 bedeutet: 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1 = 11 (dezimal).

Das Prinzip ist dasselbe — nur mit einer anderen Basis.

Erklärung

Warum Basis 2?

Ein Transistor hat zwei stabile Zustände: leitend oder sperrend. Mehr Zustände (z. B. für ein Dezimalsystem) wären technisch möglich, aber viel fehleranfälliger — schon kleine Spannungsschwankungen würden zu falschen Werten führen. Zwei Zustände (hoch/niedrig) sind robust und eindeutig. Deshalb hat sich das Binärsystem in der Computertechnik durchgesetzt.

Binär zu Dezimal umrechnen

Jede Stelle in einer Binärzahl steht für eine Zweierpotenz, von rechts nach links: 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, usw.

Beispiel: 10110

Stelle	4	3	2	1	0
2^n	16	8	4	2	1
Bit	1	0	1	1	0

Ergebnis: 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22

Dezimal zu Binär umrechnen

Methode: Wiederholt durch 2 teilen und die Reste notieren (von unten nach oben lesen):

22 ÷ 2 = 11 Rest 0 11 ÷ 2 = 5 Rest 1 5 ÷ 2 = 2 Rest 1 2 ÷ 2 = 1 Rest 0 1 ÷ 2 = 0 Rest 1

Von unten nach oben: 10110 — korrekt.

Bit und Byte

Ein Bit (Binary Digit) ist die kleinste Informationseinheit: eine 0 oder eine 1.

Ein Byte besteht aus 8 Bit. Mit 8 Bit lassen sich 2⁸ = 256 verschiedene Werte darstellen (0 bis 255).

Speichergrößen aufwärts:

• 1 Kilobyte (KB) = 1.024 Byte
• 1 Megabyte (MB) = 1.024 KB ≈ 1 Million Byte
• 1 Gigabyte (GB) = 1.024 MB ≈ 1 Milliarde Byte
• 1 Terabyte (TB) = 1.024 GB

(Festplattenhersteller verwenden oft 1 KB = 1.000 Byte statt 1.024 — deshalb hat eine „500 GB” Festplatte im Betriebssystem etwas weniger angezeigt.)

Hexadezimal als Kurzschreibweise

Binärzahlen werden schnell lang. 11111111 ist schwer zu lesen. Das Hexadezimalsystem (Basis 16) fasst je 4 Bit zu einer Stelle zusammen.

Hexadezimalziffern: 0–9 und A–F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).

11111111 binär = FF hexadezimal = 255 dezimal.

Du begegnest Hexadezimal täglich: Farbcodes im Web. #FF0000 bedeutet: Rot-Kanal = FF = 255, Grün-Kanal = 00 = 0, Blau-Kanal = 00 = 0 — also reines Rot.

Negative Zahlen: Zweierkomplement

Wie stellt ein Computer negative Zahlen dar? Mit dem Zweierkomplement: Das höchste Bit ist das Vorzeichenbit (0 = positiv, 1 = negativ). Eine negative Zahl entsteht, indem man alle Bits umdreht und 1 addiert.

Beispiel für -3 in 8 Bit:

• +3 = 00000011
• Alle Bits umdrehen: 11111100
• 1 addieren: 11111101

Das Schöne: Addition funktioniert mit Zweierkomplement genauso wie mit positiven Zahlen. Der Computer braucht keine spezielle Subtraktionslogik.

Zeichen: ASCII und Unicode

Wie speichert ein Computer Text? Indem jedem Zeichen eine Zahl zugeordnet wird.

ASCII (1963): 128 Zeichen — lateinische Buchstaben, Ziffern, Satzzeichen, Steuerzeichen. Der Buchstabe „A” hat den ASCII-Wert 65, „a” ist 97.

Unicode (ab 1991): Über 140.000 Zeichen aus allen Schriftsystemen der Welt, Emojis eingeschlossen. Die häufigste Codierung ist UTF-8, die je nach Zeichen 1–4 Byte verwendet und rückwärtskompatibel zu ASCII ist.

Beispiel aus dem Alltag

Bilddatei:

Ein Bild besteht aus Pixeln. Jeder Pixel hat eine Farbe, die als RGB-Wert gespeichert wird: Rot (0–255), Grün (0–255), Blau (0–255). Das sind 3 Byte pro Pixel — also 24 Bit. Ein unkomprimiertes Bild mit 1920 × 1080 Pixeln braucht: 1920 × 1080 × 3 Byte = rund 6 Megabyte.

Dateigröße:

Ein Word-Dokument mit reinem Text ist klein (Kilobyte-Bereich), weil Text nur wenige Byte pro Zeichen braucht. Ein Video ist riesig (Gigabyte), weil es Tausende von Bildern pro Minute enthält — weshalb Videokompression (mp4, H.264) so wichtig ist.

Farbcode im Browser:

Die Hintergrundfarbe dieser Seite könnte als #1a1a2e definiert sein. Das ist: Rot = 1A = 26, Grün = 1A = 26, Blau = 2E = 46 — ein dunkles Blaugrau.

Anwendung

1. Rechne die Dezimalzahl 42 ins Binärsystem um. Prüfe dein Ergebnis durch Rückrechnung.

2. Welchen Dezimalwert hat die Binärzahl 11001010?

3. Wie viele verschiedene Werte kann man mit 4 Bit darstellen? Und mit 16 Bit?

4. Der Farbcode #00FF80 erscheint als helles Grün. Welche Dezimalwerte haben die drei Farbkanäle (Rot, Grün, Blau)?

5. Warum gibt es den ASCII-Wert 65 für „A” und 97 für „a”? Was ist der Unterschied zwischen den Werten 65 und 97 im Binärsystem?

Typische Fehler

Stellen von rechts nach links vergessen: Beim Umrechnen von Binär zu Dezimal beginnt die Zweierpotenz 2⁰ = 1 ganz rechts. Anfänger fangen oft links an — dann stimmen alle Werte nicht.

Byte und Bit verwechseln: Ein Bit ist eine einzelne 0 oder 1. Ein Byte sind 8 Bit. Übertragungsgeschwindigkeiten werden oft in Bit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben, Dateigrößen in Byte (MB). 50 Mbit/s Download entsprechen etwa 6 MB/s.

Hexadezimalziffern falsch lesen: A–F sind gültige Hex-Ziffern, keine Buchstaben im Wortsinn. 1F ist eine Zahl (= 31 dezimal), keine Abkürzung.

Zweierkomplement missverstehen: -0 gibt es im Zweierkomplement nicht — das ist ein Vorteil gegenüber dem einfacheren Vorzeichenbit-System.

Zusammenfassung

• Computer arbeiten mit Binärzahlen, weil Transistoren nur zwei stabile Zustände haben: 0 und 1
• Jede Stelle im Binärsystem steht für eine Zweierpotenz; Umrechnung erfolgt durch Multiplikation der Bits mit ihrem Stellenwert
• 1 Byte = 8 Bit, kann 256 verschiedene Werte (0–255) darstellen
• Hexadezimal (Basis 16, Ziffern 0–9 und A–F) fasst je 4 Bit zusammen und ist kompakter als Binär
• Negative Zahlen werden mit dem Zweierkomplement dargestellt
• Text wird als Zahlen codiert: ASCII (128 Zeichen) wurde durch Unicode mit über 140.000 Zeichen abgelöst

Quiz

Frage 1: Warum arbeiten Computer mit dem Binärsystem und nicht mit dem Dezimalsystem?

Frage 2: Was ergibt die Binärzahl 1100 als Dezimalzahl?

Frage 3: Was bedeutet der Webfarbcode #FF8800?

Frage 4: Was ist der Unterschied zwischen ASCII und Unicode?