Wärmeaustausch berechnen — Mischungstemperatur

Aufgabenstellung

Ein Schmied taucht ein glühendes Stahlwerkstück in ein Wasserbad, um es abzuschrecken.

Gegeben:

• Masse des Stahlstücks: $m_S = 2{,}0\;\text{kg}$

• Anfangstemperatur Stahl: $T_S = 800\;°\text{C}$

• Masse des Wassers: $m_W = 15{,}0\;\text{kg}$

• Anfangstemperatur Wasser: $T_W = 20\;°\text{C}$

• Spezifische Wärmekapazität Stahl: $c_S = 0{,}50\;\frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$

• Spezifische Wärmekapazität Wasser: $c_W = 4{,}18\;\frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$

• (a) Berechnen Sie die Mischungstemperatur $T_M$, die sich einstellt, wenn das System ins thermische Gleichgewicht kommt. Gehen Sie davon aus, dass kein Wasser verdampft und keine Wärme an die Umgebung abgegeben wird. (4 BE)

• (b) Berechnen Sie die vom Stahlstück abgegebene Wärmemenge. (3 BE)

• (c) Erklären Sie, warum die Mischungstemperatur viel näher bei der Anfangstemperatur des Wassers liegt als bei der des Stahls, obwohl der Stahl viel heißer ist. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Mischungstemperatur berechnen (a)

Im thermischen Gleichgewicht gilt der Energieerhaltungssatz: Die vom heißen Körper abgegebene Wärme entspricht der vom kalten Körper aufgenommenen Wärme:

$Q_{\text{ab}} = Q_{\text{auf}}$

$m_S \cdot c_S \cdot (T_S - T_M) = m_W \cdot c_W \cdot (T_M - T_W)$

Auflösen nach $T_M$:

$m_S \cdot c_S \cdot T_S - m_S \cdot c_S \cdot T_M = m_W \cdot c_W \cdot T_M - m_W \cdot c_W \cdot T_W$

$m_S \cdot c_S \cdot T_S + m_W \cdot c_W \cdot T_W = T_M \cdot (m_S \cdot c_S + m_W \cdot c_W)$

$T_M = \frac{m_S \cdot c_S \cdot T_S + m_W \cdot c_W \cdot T_W}{m_S \cdot c_S + m_W \cdot c_W}$

Einsetzen der Werte:

$T_M = \frac{2{,}0 \cdot 0{,}50 \cdot 800 + 15{,}0 \cdot 4{,}18 \cdot 20}{2{,}0 \cdot 0{,}50 + 15{,}0 \cdot 4{,}18}$

Zähler:

$2{,}0 \cdot 0{,}50 \cdot 800 = 800\;\text{kJ}$ $15{,}0 \cdot 4{,}18 \cdot 20 = 1\,254\;\text{kJ}$ $\text{Zähler} = 800 + 1\,254 = 2\,054\;\text{kJ}$

Nenner:

$2{,}0 \cdot 0{,}50 = 1{,}00\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}$ $15{,}0 \cdot 4{,}18 = 62{,}70\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}$ $\text{Nenner} = 1{,}00 + 62{,}70 = 63{,}70\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}$

$T_M = \frac{2\,054}{63{,}70} = 32{,}2\;°\text{C}$

$\boxed{T_M \approx 32\;°\text{C}}$

Schritt 2: Abgegebene Wärmemenge (b)

Die vom Stahlstück abgegebene Wärme:

$Q_{\text{ab}} = m_S \cdot c_S \cdot (T_S - T_M)$

$Q_{\text{ab}} = 2{,}0\;\text{kg} \cdot 0{,}50\;\frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot (800 - 32{,}2)\;\text{K}$

$Q_{\text{ab}} = 2{,}0 \cdot 0{,}50 \cdot 767{,}8$

$\boxed{Q_{\text{ab}} \approx 768\;\text{kJ}}$

Kontrolle mit der Wasserseite:

$Q_{\text{auf}} = 15{,}0 \cdot 4{,}18 \cdot (32{,}2 - 20) = 62{,}70 \cdot 12{,}2 = 765\;\text{kJ} \;\approx\; Q_{\text{ab}} \;\checkmark$

(Die kleine Differenz entsteht durch Rundung von $T_M$.)

Schritt 3: Warum liegt die Mischungstemperatur nahe bei der Wassertemperatur? (c)

Die Mischungstemperatur liegt mit $32\;°\text{C}$ nahe an der Wassertemperatur ($20\;°\text{C}$) und extrem weit von der Stahltemperatur ($800\;°\text{C}$) entfernt. Dies liegt an der Wärmekapazität der beiden Stoffe:

Die Gesamtwärmekapazität eines Körpers ist das Produkt aus Masse und spezifischer Wärmekapazität:

$C_S = m_S \cdot c_S = 2{,}0 \cdot 0{,}50 = 1{,}0\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}$ $C_W = m_W \cdot c_W = 15{,}0 \cdot 4{,}18 = 62{,}7\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}$

Das Wasser hat eine 63-mal größere Gesamtwärmekapazität als das Stahlstück. Das bedeutet: Um das Wasser um $1\;°\text{C}$ zu erwärmen, benötigt man $62{,}7\;\text{kJ}$; um den Stahl um $1\;°\text{C}$ abzukühlen, werden nur $1{,}0\;\text{kJ}$ frei.

Die Mischungstemperatur ist ein gewichteter Mittelwert, wobei die Gewichte die Gesamtwärmekapazitäten sind. Da $C_W \gg C_S$, dominiert das Wasser, und die Mischungstemperatur verschiebt sich kaum von $T_W$ weg.

$\boxed{\frac{C_W}{C_S} = 62{,}7 \;\Rightarrow\; T_M \text{ liegt nahe bei } T_W}$

Ergebnis

Größe	Wert
Mischungstemperatur $T_M$	$\approx 32\;°\text{C}$
Abgegebene Wärme $Q$	$\approx 768\;\text{kJ}$
Wärmekapazitätsverhältnis $C_W / C_S$	$\approx 63$ (Wasser dominiert)