Ideale Gasgleichung anwenden — Heißluftballon

Aufgabenstellung

Die Hülle eines Heißluftballons hat ein Volumen von $V = 2\,800\;\text{m}^3$. Am Boden herrscht ein Luftdruck von $p = 1{,}013 \cdot 10^5\;\text{Pa}$ bei einer Außentemperatur von $T_{\text{außen}} = 15\;°\text{C}$.

Gegeben:

• Universelle Gaskonstante: $R = 8{,}314\;\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}}$

• Molare Masse von Luft (Näherung): $M_{\text{Luft}} = 29{,}0\;\text{g/mol}$

• Die Luft verhält sich näherungsweise wie ein ideales Gas.

• (a) Berechnen Sie die Masse der Luft in der Ballonhülle bei Außentemperatur. (3 BE)

• (b) Der Brenner erhitzt die Luft in der Hülle auf $T_{\text{heiß}} = 100\;°\text{C}$. Berechnen Sie die Masse der heißen Luft in der Hülle (der Druck bleibt konstant, da die Hülle unten offen ist). (4 BE)

• (c) Berechnen Sie den statischen Auftrieb und die maximale Nutzlast des Ballons. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Masse der kalten Luft (a)

Umrechnung der Temperatur in Kelvin:

$T_{\text{außen}} = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\;\text{K}$

Die ideale Gasgleichung lautet:

$p \cdot V = n \cdot R \cdot T$

Auflösen nach der Stoffmenge $n$:

$n = \frac{p \cdot V}{R \cdot T_{\text{außen}}}$

$n = \frac{1{,}013 \cdot 10^5\;\text{Pa} \cdot 2\,800\;\text{m}^3}{8{,}314\;\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot 288{,}15\;\text{K}}$

$n = \frac{2{,}836 \cdot 10^8}{2\,395{,}6} = 118\,380\;\text{mol}$

Masse:

$m_{\text{kalt}} = n \cdot M_{\text{Luft}} = 118\,380\;\text{mol} \cdot 29{,}0\;\frac{\text{g}}{\text{mol}} = 3{,}433 \cdot 10^6\;\text{g}$

$\boxed{m_{\text{kalt}} \approx 3\,433\;\text{kg}}$

Schritt 2: Masse der heißen Luft (b)

Die Ballonhülle ist unten offen, daher bleibt der Druck konstant ($p = \text{const.}$). Beim Erhitzen dehnt sich die Luft aus, und überschüssige Luft entweicht nach unten. Das Volumen der Hülle bleibt $V = 2\,800\;\text{m}^3$.

Umrechnung:

$T_{\text{heiß}} = 100 + 273{,}15 = 373{,}15\;\text{K}$

Da bei konstantem Druck und Volumen die Stoffmenge von der Temperatur abhängt:

$n_{\text{heiß}} = \frac{p \cdot V}{R \cdot T_{\text{heiß}}}$

$n_{\text{heiß}} = \frac{1{,}013 \cdot 10^5 \cdot 2\,800}{8{,}314 \cdot 373{,}15} = \frac{2{,}836 \cdot 10^8}{3\,102{,}3} = 91\,420\;\text{mol}$

Masse:

$m_{\text{heiß}} = 91\,420 \cdot 29{,}0\;\frac{\text{g}}{\text{mol}} = 2{,}651 \cdot 10^6\;\text{g}$

$\boxed{m_{\text{heiß}} \approx 2\,651\;\text{kg}}$

Alternative über Proportionalität: Bei konstantem Druck und Volumen gilt $n \propto \frac{1}{T}$, also:

$m_{\text{heiß}} = m_{\text{kalt}} \cdot \frac{T_{\text{außen}}}{T_{\text{heiß}}} = 3\,433 \cdot \frac{288{,}15}{373{,}15} = 3\,433 \cdot 0{,}7722 \approx 2\,651\;\text{kg} \;\checkmark$

Schritt 3: Auftrieb und Nutzlast (c)

Der statische Auftrieb nach Archimedes entspricht dem Gewicht der verdrängten (kalten) Luft:

$F_A = m_{\text{kalt}} \cdot g = 3\,433\;\text{kg} \cdot 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 33\,678\;\text{N}$

Das Gewicht der heißen Luft in der Hülle:

$F_G = m_{\text{heiß}} \cdot g = 2\,651\;\text{kg} \cdot 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 26\,006\;\text{N}$

Die Nettoauftriebskraft (für Nutzlast verfügbar):

$\Delta F = F_A - F_G = (m_{\text{kalt}} - m_{\text{heiß}}) \cdot g$

$\Delta F = (3\,433 - 2\,651)\;\text{kg} \cdot 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 782\;\text{kg} \cdot 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

$\Delta F = 7\,671\;\text{N}$

Die maximale Nutzlast (Korb, Passagiere, Brenner, Hülle):

$\boxed{m_{\text{Nutzlast}} = m_{\text{kalt}} - m_{\text{heiß}} \approx 782\;\text{kg}}$

In der Praxis wiegt die Hülle ca. 100–150 kg, der Korb ca. 70 kg und der Brenner ca. 50 kg. Für Passagiere und Treibstoff verbleiben somit rund 400–500 kg.

Ergebnis

Größe	Wert
Masse kalte Luft	$\approx 3\,433\;\text{kg}$
Masse heiße Luft ($100\;°\text{C}$)	$\approx 2\,651\;\text{kg}$
Massedifferenz (Nutzlast)	$\approx 782\;\text{kg}$
Nettoauftriebskraft	$\approx 7\,671\;\text{N}$