Zeitdilatation — Rechnen mit der Lorentz-Formel

Aufgabenstellung

Ausgangspunkt

Szenario A — Raumschiff: Ein Raumschiff bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v = 0{,}8c$ relativ zur Erde. An Bord läuft eine hochpräzise Uhr. Zwei Zwillinge, Ana und Ben, sind zum Zeitpunkt des Starts gleich alt (20 Jahre). Ben bleibt auf der Erde, Ana fliegt mit dem Raumschiff.

Szenario B — Myonen: Bei der Wechselwirkung kosmischer Strahlung mit der Erdatmosphäre entstehen in einer Höhe von $h = 10\;\mathrm{km}$ Myonen. Im Ruhesystem des Myons beträgt die mittlere Lebensdauer $\tau_0 = 2{,}2\;\mathrm{\mu s}$. Die Myonen bewegen sich mit $v_\mu = 0{,}998\,c$ in Richtung Erdoberfläche.

Gegebene Größen: $c = 3{,}00 \cdot 10^8\;\mathrm{m/s}$, $v = 0{,}8c$, $v_\mu = 0{,}998c$, $\tau_0 = 2{,}2\;\mathrm{\mu s}$, $h = 10\;\mathrm{km}$

Aufgaben

• (a) Berechne den Lorentzfaktor $\gamma$ für $v = 0{,}8c$. Wie viel Zeit vergeht für den Erdbeobachter (Ben), wenn Anas Borduhr $t_0 = 1\;\mathrm{Jahr}$ anzeigt? (5 BE)

• (b) Erkläre das Zwillingsparadoxon: Welcher Zwilling ist nach Anas Rückkehr jünger — und warum ist das kein Widerspruch zum Relativitätsprinzip? (4 BE)

• (c) Berechne für die Myonen: (i) Welche Strecke legen sie klassisch (ohne Relativitätstheorie) während ihrer mittleren Lebensdauer zurück? (ii) Berechne den Lorentzfaktor $\gamma_\mu$ für $v_\mu = 0{,}998c$ und die aus Sicht der Erde verlängerte Lebensdauer $\tau'$. Erkläre, warum Myonen trotz ihrer kurzen Eigenlebensdauer die Erdoberfläche erreichen. (6 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Lorentzfaktor und Zeitdilatation (a)

Lorentzfaktor für $v = 0{,}8c$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}8)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6}$

$\boxed{\gamma = \frac{5}{3} \approx 1{,}667}$

Zeitdilatation: Anas Borduhr zeigt die Eigenzeit $t_0 = 1\;\mathrm{Jahr}$. Ben misst die koordinatenzeitliche Dauer:

$t' = \gamma \cdot t_0 = \frac{5}{3} \cdot 1\;\mathrm{Jahr} = \frac{5}{3}\;\mathrm{Jahre} \approx 1\;\mathrm{Jahr}\ 8\;\mathrm{Monate}$

Auf der Erde sind also $\approx 1{,}667\;\mathrm{Jahre}$ vergangen, während an Bord nur $1\;\mathrm{Jahr}$ verstrichen ist. Anas Uhr geht aus Bens Sicht langsamer.

Schritt 2: Zwillingsparadoxon (b)

Welcher Zwilling ist jünger?

Ana ist nach der Rückkehr jünger als Ben. Quantitativ: Wenn der Flug (Hin- und Rückweg zusammen) nach Anas Uhr $t_0 = 20\;\mathrm{Jahre}$ dauert, zeigt Bens Uhr auf der Erde $t' = \gamma \cdot 20\;\mathrm{Jahre} = 33{,}3\;\mathrm{Jahre}$. Ana ist dann 40 Jahre alt, Ben 53 Jahre — ein realer, messbarer Altersunterschied.

Kein Widerspruch zum Relativitätsprinzip?

Das Relativitätsprinzip gilt nur für Inertialsysteme — also für Bezugssysteme in gleichförmiger, unbeschleunigter Bewegung. Ana muss am fernen Stern abbremsen, umkehren und wieder beschleunigen. Dieser Umkehrvorgang ist eine Beschleunigung, die das Relativitätsprinzip bricht: Ana ist nicht in einem einzigen Inertialsystem. Ben dagegen bleibt die ganze Zeit (näherungsweise) in einem Inertialsystem auf der Erde.

Die Situation ist also asymmetrisch: Ana erfährt eine Beschleunigung, Ben nicht. Deshalb ist Bens Messen von Anas langsamerer Uhr nicht durch eine ebenso berechtigte Gegenrechnung aufhebbar. Das Paradoxon löst sich auf, wenn man die Beschleunigungsphase korrekt (mit der Allgemeinen Relativitätstheorie oder dem relativistischen Dopplereffekt) berücksichtigt — das Ergebnis ist eindeutig: Ana kehrt jünger zurück.

Schritt 3: Myonen — klassisch und relativistisch (c)

Teil (i): Klassische Weglänge

Ohne Relativitätstheorie legt ein Myon während seiner Eigenlebensdauer $\tau_0 = 2{,}2\;\mathrm{\mu s}$ zurück:

$s_{\text{klass}} = v_\mu \cdot \tau_0 = 0{,}998 \cdot 3{,}00 \cdot 10^8\;\mathrm{m/s} \cdot 2{,}2 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{s}$

$s_{\text{klass}} = 2{,}994 \cdot 10^8\;\mathrm{m/s} \cdot 2{,}2 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{s} \approx 659\;\mathrm{m}$

Klassisch könnten Myonen also nur $\approx 659\;\mathrm{m}$ weit gelangen — weit weniger als die $10\;\mathrm{km}$ bis zur Erdoberfläche. Klassisch dürften wir keine Myonen am Boden messen.

Teil (ii): Relativistische Rechnung

Lorentzfaktor für $v_\mu = 0{,}998c$:

$\gamma_\mu = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}998)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}996004}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}003996}}$

$\gamma_\mu = \frac{1}{0{,}06322} \approx 15{,}8$

Verlängerte Lebensdauer aus Sicht des Erdbeobachters (Zeitdilatation):

$\tau' = \gamma_\mu \cdot \tau_0 = 15{,}8 \cdot 2{,}2\;\mathrm{\mu s} \approx 34{,}8\;\mathrm{\mu s}$

Zurückgelegte Strecke in dieser Zeit:

$s_{\text{rel}} = v_\mu \cdot \tau' = 0{,}998 \cdot 3{,}00 \cdot 10^8\;\mathrm{m/s} \cdot 34{,}8 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{s} \approx 10\;430\;\mathrm{m} \approx 10{,}4\;\mathrm{km}$

Das Myon erreicht also die Erdoberfläche — die Zeitdilatation verlängert seine aus Erdperspektive gemessene Lebensdauer von $2{,}2\;\mathrm{\mu s}$ auf $34{,}8\;\mathrm{\mu s}$, was ausreicht, um $10\;\mathrm{km}$ zurückzulegen.

Alternative Erklärung aus Sicht des Myons (Längenkontraktion): Im Ruhesystem des Myons ist die Lebensdauer $\tau_0 = 2{,}2\;\mathrm{\mu s}$ korrekt, aber die Atmosphäre bewegt sich auf das Myon zu. Die Dicke der Atmosphäre ist aufgrund der Längenkontraktion auf

$h' = \frac{h}{\gamma_\mu} = \frac{10\;\mathrm{km}}{15{,}8} \approx 0{,}63\;\mathrm{km} = 630\;\mathrm{m}$

verkürzt. Das Myon schafft $630\;\mathrm{m}$ in $2{,}2\;\mathrm{\mu s}$ bei $v = 0{,}998c$ — passt! Beide Sichtweisen (Zeitdilatation für den Erdbeobachter; Längenkontraktion für das Myon) führen zum selben physikalischen Ergebnis: Das Myon erreicht die Erdoberfläche. Das zeigt die innere Konsistenz der Speziellen Relativitätstheorie.

Ergebnis

Teilaufgabe	Ergebnis
(a) Lorentzfaktor $\gamma$ bei $v = 0{,}8c$	$\gamma = 5/3 \approx 1{,}667$
(a) Erdzeit für 1 Jahr Bordzeit	$t' \approx 1{,}667\;\mathrm{Jahre}$
(b) Jüngerer Zwilling	Ana (Reisende), weil sie beschleunigt hat
(c) Klassische Myon-Reichweite	$s_{\text{klass}} \approx 659\;\mathrm{m}$
(c) $\gamma_\mu$ bei $v = 0{,}998c$	$\gamma_\mu \approx 15{,}8$
(c) Relativistische Lebensdauer	$\tau' \approx 34{,}8\;\mathrm{\mu s}$
(c) Relativistische Reichweite	$s_{\text{rel}} \approx 10{,}4\;\mathrm{km}$ — Erdoberfläche wird erreicht