Looping — Mindestgeschwindigkeit und Kräfte

Aufgabenstellung

Eine kleine Kugel der Masse $m = 0{,}2\;\text{kg}$ rollt reibungsfrei von einer Höhe $h$ auf einer Bahn in einen vertikalen Looping mit dem Radius $r = 0{,}5\;\text{m}$. Der tiefste Punkt des Loopings liegt auf Bodenniveau ($h = 0$). Verwenden Sie $g = 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

• (a) Bestimmen Sie die Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings, damit die Kugel gerade noch die Bahn nicht verlässt. (3 BE)
• (b) Berechnen Sie die minimale Starthöhe $h_{\text{min}}$, aus der die Kugel losrollen muss, damit sie den Looping vollständig durchläuft. (3 BE)
• (c) Die Kugel startet aus der Höhe $h = 2\;\text{m}$. Berechnen Sie ihre Geschwindigkeit am tiefsten Punkt des Loopings. (3 BE)
• (d) Berechnen Sie die Normalkraft, die die Bahn am tiefsten Punkt des Loopings auf die Kugel ausübt, wenn sie aus $h = 2\;\text{m}$ startet. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt (a)

Am Scheitelpunkt des Loopings wirken auf die Kugel die Gewichtskraft $F_G = m \cdot g$ und die Normalkraft $F_N$ der Bahn — beide nach unten zum Kreismittelpunkt gerichtet. Diese Kräfte müssen zusammen die Zentripetalkraft aufbringen:

$F_G + F_N = \frac{m \cdot v_{\text{oben}}^2}{r}$

Die kritische Bedingung für das Durchfahren des Loopings ist, dass die Normalkraft gerade null wird ($F_N = 0$). Dann trägt allein die Gewichtskraft die Zentripetalkraft:

$m \cdot g = \frac{m \cdot v_{\text{min}}^2}{r}$

Die Masse kürzt sich heraus:

$v_{\text{min}}^2 = g \cdot r$

$v_{\text{min}} = \sqrt{g \cdot r}$

Einsetzen:

$v_{\text{min}} = \sqrt{9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}5\;\text{m}}$

$v_{\text{min}} = \sqrt{4{,}905\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$

$\boxed{v_{\text{min}} \approx 2{,}21\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

Hinweis: Wird die Geschwindigkeit am Scheitelpunkt kleiner als $v_{\text{min}}$, reicht die Gewichtskraft nicht mehr aus, um die Kugel auf der Kreisbahn zu halten — sie löst sich von der Bahn und fällt nach unten.

Schritt 2: Minimale Starthöhe (b)

Die Kugel startet aus der Ruhe ($v_0 = 0$) in der Höhe $h_{\text{min}}$ und muss am Scheitelpunkt des Loopings (Höhe $h_D = 2r$) mindestens die Geschwindigkeit $v_{\text{min}}$ erreichen. Der Energieerhaltungssatz liefert:

$m \cdot g \cdot h_{\text{min}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\text{min}}^2 + m \cdot g \cdot 2r$

Die Masse kürzt sich heraus. Einsetzen von $v_{\text{min}}^2 = g \cdot r$:

$g \cdot h_{\text{min}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot r + g \cdot 2r$

$h_{\text{min}} = \frac{1}{2}\,r + 2r$

$h_{\text{min}} = \frac{5}{2}\,r$

Einsetzen:

$h_{\text{min}} = \frac{5}{2} \cdot 0{,}5\;\text{m}$

$\boxed{h_{\text{min}} = 1{,}25\;\text{m}}$

Interpretation: Die Starthöhe muss mindestens das $2{,}5$-Fache des Loopingradius betragen. Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Masse der Kugel — es gilt universell für jeden reibungsfreien Looping.

Schritt 3: Geschwindigkeit am tiefsten Punkt bei $h = 2\;\text{m}$ (c)

Die Kugel startet aus der Ruhe ($v_0 = 0$) in der Höhe $h = 2\;\text{m}$. Am tiefsten Punkt des Loopings ($h = 0$) ist die gesamte potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt:

$m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\text{unten}}^2$

Die Masse kürzt sich heraus:

$v_{\text{unten}} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$

Einsetzen:

$v_{\text{unten}} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 2\;\text{m}}$

$v_{\text{unten}} = \sqrt{39{,}24\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$

$\boxed{v_{\text{unten}} \approx 6{,}26\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

Kontrolle: Die Starthöhe $h = 2\;\text{m}$ ist größer als $h_{\text{min}} = 1{,}25\;\text{m}$, also durchläuft die Kugel den Looping vollständig. $\checkmark$

Schritt 4: Normalkraft am tiefsten Punkt (d)

Am tiefsten Punkt des Loopings wirkt die Normalkraft $F_N$ nach oben (zum Kreismittelpunkt) und die Gewichtskraft $F_G$ nach unten. Die resultierende Kraft zum Kreismittelpunkt liefert die Zentripetalkraft:

$F_N - m \cdot g = \frac{m \cdot v_{\text{unten}}^2}{r}$

$F_N = m \cdot g + \frac{m \cdot v_{\text{unten}}^2}{r}$

$F_N = m \left(g + \frac{v_{\text{unten}}^2}{r}\right)$

Einsetzen mit $v_{\text{unten}}^2 = 39{,}24\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$:

$F_N = 0{,}2\;\text{kg} \cdot \left(9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} + \frac{39{,}24\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{0{,}5\;\text{m}}\right)$

$F_N = 0{,}2\;\text{kg} \cdot \left(9{,}81 + 78{,}48\right)\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

$F_N = 0{,}2\;\text{kg} \cdot 88{,}29\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

$\boxed{F_N \approx 17{,}7\;\text{N}}$

Interpretation: Die Normalkraft ist das $\frac{F_N}{m \cdot g} = \frac{17{,}7}{0{,}2 \cdot 9{,}81} \approx 9{,}0$-Fache der Gewichtskraft. Am tiefsten Punkt muss die Bahn also eine Kraft aufbringen, die deutlich über die Gewichtskraft hinausgeht, da zusätzlich die Zentripetalkraft bereitgestellt werden muss.

Allgemein lässt sich die Normalkraft am tiefsten Punkt auch direkt aus der Starthöhe ausdrücken. Mit $v_{\text{unten}}^2 = 2gh$:

$F_N = m\left(g + \frac{2gh}{r}\right) = mg\left(1 + \frac{2h}{r}\right)$

Für $h = 2\;\text{m}$ und $r = 0{,}5\;\text{m}$: $F_N = mg \cdot (1 + 8) = 9\,mg$ $\checkmark$

Ergebnis

Frage	Antwort
Mindestgeschwindigkeit am Scheitelpunkt	$v_{\text{min}} \approx 2{,}21\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$
Minimale Starthöhe	$h_{\text{min}} = 1{,}25\;\text{m} = \frac{5}{2}\,r$
Geschwindigkeit am tiefsten Punkt ($h = 2\;\text{m}$)	$v_{\text{unten}} \approx 6{,}26\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$
Normalkraft am tiefsten Punkt	$F_N \approx 17{,}7\;\text{N} \approx 9\,mg$