Plattenkondensator — Kapazität, Feldstärke und Kraft

Aufgabenstellung

Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen Metallplatten mit der Fläche $A = 4{,}5\;\text{cm}^2$ und dem Plattenabstand $d = 1{,}0\;\text{cm}$. Der Kondensator ist an eine Spannungsquelle mit $U = 1{,}8\;\text{kV}$ angeschlossen. Zwischen den Platten befindet sich Luft ($\varepsilon_r = 1$).

Naturkonstanten: $\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\;\frac{\text{As}}{\text{Vm}}$, $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{C}$

• (a) Berechnen Sie die Kapazität $C$ des Kondensators. (2 BE)
• (b) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke $E$ zwischen den Platten. (2 BE)
• (c) Berechnen Sie die Kraft $F$ auf ein Proton, das sich zwischen den Platten befindet. (3 BE)
• (d) Die rechte Platte wird auf den doppelten Abstand $d' = 2d$ verschoben, während die Spannungsquelle angeschlossen bleibt. Beschreiben Sie, wie sich $C$, $U$, $E$ und $Q$ ändern. (4 BE)
• (e) Nun wird der Versuch wiederholt, aber die Spannungsquelle wird vor dem Verschieben der Platte abgetrennt. Beschreiben Sie, wie sich $C$, $U$, $E$ und $Q$ in diesem Fall ändern. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Kapazität berechnen (a)

Die Kapazität eines Plattenkondensators berechnet sich mit:

$C = \varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d}$

Umrechnung der Einheiten: $A = 4{,}5\;\text{cm}^2 = 4{,}5 \cdot 10^{-4}\;\text{m}^2$ und $d = 1{,}0\;\text{cm} = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\;\text{m}$.

$C = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\;\frac{\text{As}}{\text{Vm}} \cdot \frac{4{,}5 \cdot 10^{-4}\;\text{m}^2}{1{,}0 \cdot 10^{-2}\;\text{m}}$

$C = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 4{,}5 \cdot 10^{-2}\;\text{F}$

$\boxed{C \approx 3{,}98 \cdot 10^{-13}\;\text{F} \approx 0{,}40\;\text{pF}}$

Schritt 2: Elektrische Feldstärke (b)

Im Inneren eines Plattenkondensators ist das Feld homogen:

$E = \frac{U}{d}$

$E = \frac{1{,}8 \cdot 10^{3}\;\text{V}}{1{,}0 \cdot 10^{-2}\;\text{m}}$

$\boxed{E = 1{,}8 \cdot 10^{5}\;\frac{\text{V}}{\text{m}} = 180\;\frac{\text{kV}}{\text{m}}}$

Schritt 3: Kraft auf ein Proton (c)

Auf eine Ladung $q$ im elektrischen Feld wirkt die Kraft:

$F = q \cdot E$

Für ein Proton gilt $q = e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{C}$:

$F = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{C} \cdot 1{,}8 \cdot 10^{5}\;\frac{\text{V}}{\text{m}}$

$\boxed{F \approx 2{,}88 \cdot 10^{-14}\;\text{N}}$

Das Proton wird zur negativen Platte hin beschleunigt.

Schritt 4: Verdopplung des Abstands bei angeschlossener Batterie (d)

Wenn die Spannungsquelle angeschlossen bleibt, hält sie die Spannung konstant: $U' = U$.

Kapazität: $C' = \varepsilon_0 \cdot \frac{A}{2d} = \frac{C}{2}$

Die Kapazität halbiert sich.

Spannung: $U' = U = 1{,}8\;\text{kV}$

Die Spannung bleibt konstant (Batterie liefert/entzieht Ladung).

Ladung: $Q' = C' \cdot U' = \frac{C}{2} \cdot U = \frac{Q}{2}$

Die Ladung halbiert sich — Ladung fließt zurück zur Batterie.

Feldstärke: $E' = \frac{U'}{d'} = \frac{U}{2d} = \frac{E}{2}$

Die Feldstärke halbiert sich.

$\boxed{U' = U, \quad C' = \frac{C}{2}, \quad Q' = \frac{Q}{2}, \quad E' = \frac{E}{2}}$

Schritt 5: Verdopplung des Abstands bei abgetrennter Batterie (e)

Wenn die Spannungsquelle vor dem Verschieben abgetrennt wird, kann keine Ladung mehr fließen: $Q' = Q$.

Kapazität: $C' = \varepsilon_0 \cdot \frac{A}{2d} = \frac{C}{2}$

Die Kapazität halbiert sich (wie in (d) — geometrische Eigenschaft).

Ladung: $Q' = Q$

Die Ladung bleibt konstant (keine Verbindung zur Batterie).

Spannung: $U' = \frac{Q'}{C'} = \frac{Q}{C/2} = 2 \cdot \frac{Q}{C} = 2U$

Die Spannung verdoppelt sich.

Feldstärke: $E' = \frac{U'}{d'} = \frac{2U}{2d} = \frac{U}{d} = E$

Die Feldstärke bleibt konstant — die Oberflächenladungsdichte bestimmt das Feld, und $Q$ sowie $A$ sind unverändert.

$\boxed{Q' = Q, \quad C' = \frac{C}{2}, \quad U' = 2U, \quad E' = E}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Kapazität $C$	$\approx 0{,}40\;\text{pF}$
Feldstärke $E$	$180\;\frac{\text{kV}}{\text{m}}$
Kraft auf Proton	$F \approx 2{,}88 \cdot 10^{-14}\;\text{N}$
Batterie angeschlossen: $d \to 2d$	$U$ konstant, $C$, $Q$, $E$ halbiert
Batterie abgetrennt: $d \to 2d$	$Q$ konstant, $C$ halbiert, $U$ verdoppelt, $E$ konstant