Schwebende Ladung im Kondensatorfeld

Aufgabenstellung

Eine kleine geladene Kugel mit der Masse $m = 0{,}20\;\text{g}$ und der Ladung $q = +5{,}0\;\text{nC}$ schwebt bewegungslos zwischen den beiden horizontalen Platten eines Kondensators. Der Plattenabstand beträgt $d = 5{,}0\;\text{cm}$.

Naturkonstante: $g = 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

• (a) Welche Platte (oben oder unten) muss positiv geladen sein? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Kräfteskizze. (2 BE)
• (b) Berechnen Sie die erforderliche elektrische Feldstärke $E$, damit die Kugel schwebt. (2 BE)
• (c) Berechnen Sie die dafür nötige Spannung $U$ zwischen den Platten. (2 BE)
• (d) Die Spannung wird auf den doppelten Wert $U' = 2U$ erhöht. Beschreiben Sie die Bewegung der Kugel und berechnen Sie ihre Beschleunigung $a$. (2 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Welche Platte ist positiv? (a)

Auf die positiv geladene Kugel wirken zwei Kräfte:

• Gewichtskraft $\vec{F}_G$ nach unten ($F_G = mg$)
• Elektrische Kraft $\vec{F}_E$ — diese muss nach oben zeigen, um die Gewichtskraft zu kompensieren

Die elektrische Kraft auf eine positive Ladung zeigt in Feldrichtung, also von $+$ nach $-$. Damit $\vec{F}_E$ nach oben zeigt, muss das Feld von oben nach unten gerichtet sein — die obere Platte muss also positiv geladen sein.

$\boxed{\text{Die obere Platte muss positiv geladen sein.}}$

Kräfteskizze: Die Gewichtskraft $\vec{F}_G$ zeigt nach unten, die elektrische Kraft $\vec{F}_E = q\vec{E}$ zeigt nach oben. Im Schwebezustand gilt $|\vec{F}_E| = |\vec{F}_G|$.

Hinweis: Das Feld zeigt von der oberen (+) zur unteren (-) Platte, also nach unten. Die Kraft auf die positive Ladung zeigt in Feldrichtung, also ebenfalls nach unten. Das wäre falsch — Korrektur: Damit die Kraft nach oben zeigt, muss die untere Platte positiv sein, sodass das Feld von unten nach oben zeigt.

$\boxed{\text{Die untere Platte muss positiv geladen sein.}}$

Begründung: Das elektrische Feld zeigt von $+$ (unten) nach $-$ (oben), also nach oben. Die Kraft auf die positive Ladung $\vec{F}_E = q\vec{E}$ zeigt ebenfalls nach oben und kompensiert so die Gewichtskraft.

Schritt 2: Erforderliche Feldstärke (b)

Im Schwebezustand sind Gewichtskraft und elektrische Kraft im Gleichgewicht:

$F_G = F_E$

$m \cdot g = q \cdot E$

Umstellen nach $E$:

$E = \frac{m \cdot g}{q}$

Einsetzen mit $m = 0{,}20\;\text{g} = 2{,}0 \cdot 10^{-4}\;\text{kg}$ und $q = 5{,}0\;\text{nC} = 5{,}0 \cdot 10^{-9}\;\text{C}$:

$E = \frac{2{,}0 \cdot 10^{-4}\;\text{kg} \cdot 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{5{,}0 \cdot 10^{-9}\;\text{C}}$

$E = \frac{1{,}962 \cdot 10^{-3}\;\text{N}}{5{,}0 \cdot 10^{-9}\;\text{C}}$

$\boxed{E \approx 3{,}92 \cdot 10^{5}\;\frac{\text{V}}{\text{m}} = 392\;\frac{\text{kV}}{\text{m}}}$

Schritt 3: Erforderliche Spannung (c)

Im homogenen Feld eines Plattenkondensators gilt:

$U = E \cdot d$

$U = 3{,}92 \cdot 10^{5}\;\frac{\text{V}}{\text{m}} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-2}\;\text{m}$

$\boxed{U \approx 1{,}96 \cdot 10^{4}\;\text{V} \approx 19{,}6\;\text{kV}}$

Schritt 4: Verdopplung der Spannung (d)

Bei $U' = 2U$ verdoppelt sich auch die Feldstärke: $E' = 2E$.

Die elektrische Kraft beträgt nun:

$F_E' = q \cdot E' = q \cdot 2E = 2 \cdot F_G$

Die resultierende Kraft zeigt nach oben:

$F_{\text{res}} = F_E' - F_G = 2F_G - F_G = F_G = m \cdot g$

Die Kugel wird nach oben beschleunigt. Die Beschleunigung folgt aus dem zweiten Newtonschen Gesetz:

$F_{\text{res}} = m \cdot a$

$m \cdot g = m \cdot a$

$\boxed{a = g = 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \text{ (nach oben)}}$

Die Kugel erfährt die gleiche Beschleunigung wie ein frei fallender Körper — nur in die entgegengesetzte Richtung. Sie bewegt sich gleichmäßig beschleunigt nach oben, bis sie die obere Platte erreicht.

Ergebnis

Frage	Antwort
Positive Platte	Untere Platte muss positiv sein
Feldstärke $E$	$\approx 392\;\frac{\text{kV}}{\text{m}}$
Spannung $U$	$\approx 19{,}6\;\text{kV}$
Beschleunigung bei $2U$	$a = 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ nach oben