Influenz und Ladungsverteilung bei Metallkugeln

Aufgabenstellung

Zwei identische Metallkugeln (Masse $m = 1{,}2\;\text{g}$, Radius $r = 0{,}5\;\text{cm}$) hängen an zwei gleich langen Fäden ($l = 1{,}5\;\text{m}$) vom selben Aufhängepunkt herab und berühren sich in der Ruhelage. Ein positiv geladener Stab wird von der Seite genähert. Dabei werden die Kugeln aufgeladen und stoßen sich anschließend ab — sie pendeln um jeweils $\alpha = 4{,}8°$ zur Seite aus.

Naturkonstanten: $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}988 \cdot 10^{9}\;\frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2}$, $g = 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

• (a) Erklären Sie den Vorgang der Influenz: Was geschieht, wenn der geladene Stab den sich berührenden Kugeln genähert wird? (3 BE)
• (b) Skizzieren Sie das elektrische Feld (Feldlinien) zwischen den beiden geladenen Kugeln, nachdem sie sich voneinander entfernt haben. (2 BE)
• (c) Berechnen Sie den Betrag der Ladung $q$ auf jeder Kugel aus dem Auslenkwinkel $\alpha$. (5 BE)
• (d) Berechnen Sie die Oberflächenladungsdichte $\sigma$ auf einer der Kugeln. (2 BE)
• (e) Was geschieht, wenn man die beiden ausgelenkten Kugeln mit einem leitenden Draht verbindet? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Influenz erklären (a)

Wenn der positiv geladene Stab von der Seite genähert wird, geschieht Folgendes:

1. Ladungsverschiebung: Die frei beweglichen Elektronen in den beiden Metallkugeln werden vom positiven Stab angezogen. Sie wandern zur stabnahen Kugel.
2. Ladungstrennung: Die stabnahe Kugel wird negativ geladen (Elektronenüberschuss), die stabferne Kugel wird positiv geladen (Elektronenmangel).
3. Trennung: Werden die Kugeln nun voneinander getrennt (z. B. durch leichtes Auseinanderziehen) und erst danach der Stab entfernt, bleiben die Ladungen auf den Kugeln erhalten.
4. Abstoßung: Die Kugeln tragen nun betragsmäßig gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen ($+q$ und $-q$). Da sie sich jedoch anziehen würden, muss der Stab erst entfernt werden, und die Kugeln trennen sich durch den Vorgang so, dass sie gleichnamig geladen sind und sich abstoßen.

Korrektur zum Versuchsablauf: Damit sich die Kugeln abstoßen, müssen sie gleichnamig geladen sein. Dies erreicht man, indem man die Kugeln während der Influenz trennt und den Stab danach entfernt — alternativ wird der Stab berührt und Ladung übertragen (Ladung durch Berührung). Im vorliegenden Versuch nehmen wir an, dass beide Kugeln die gleiche Ladung $+q$ tragen.

Schritt 2: Feldlinien skizzieren (b)

Das elektrische Feld zwischen zwei gleichnamig positiv geladenen Kugeln zeigt folgende Merkmale:

• Die Feldlinien beginnen senkrecht auf der Oberfläche jeder Kugel und zeigen nach außen (von $+$ weg).
• Zwischen den Kugeln stoßen sich die Feldlinien ab — es entsteht eine feldfreie Symmetrieebene (Neutralfläche) genau in der Mitte.
• Die Feldlinien verlaufen bogenförmig nach außen und ähneln dem Feld zweier gleichnamiger Punktladungen.

Schritt 3: Ladung berechnen (c)

Im Gleichgewicht wirken auf jede Kugel drei Kräfte: Gewichtskraft $F_G$, Fadenspannung $F_S$ und Coulombkraft $F_C$.

Abstand der Kugeln: Jede Kugel ist um $\alpha = 4{,}8°$ ausgelenkt, der Gesamtwinkel zwischen den Fäden beträgt $2\alpha = 9{,}6°$. Der Abstand der Kugelmittelpunkte:

$d = 2 \cdot l \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot 1{,}5\;\text{m} \cdot \sin(4{,}8°)$

$d = 3{,}0\;\text{m} \cdot 0{,}08368 = 0{,}251\;\text{m}$

Kräftegleichgewicht: Aus der Auslenkung folgt:

$\tan(\alpha) = \frac{F_C}{F_G}$

$F_C = F_G \cdot \tan(\alpha) = m \cdot g \cdot \tan(\alpha)$

$F_C = 1{,}2 \cdot 10^{-3}\;\text{kg} \cdot 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \tan(4{,}8°)$

$F_C = 1{,}177 \cdot 10^{-2}\;\text{N} \cdot 0{,}08397$

$F_C = 9{,}89 \cdot 10^{-4}\;\text{N}$

Coulomb-Gesetz: Beide Kugeln tragen die gleiche Ladung $q$:

$F_C = k \cdot \frac{q^2}{d^2}$

Umstellen nach $q$:

$q = \sqrt{\frac{F_C \cdot d^2}{k}}$

$q = \sqrt{\frac{9{,}89 \cdot 10^{-4}\;\text{N} \cdot (0{,}251\;\text{m})^2}{8{,}988 \cdot 10^{9}\;\frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2}}}$

$q = \sqrt{\frac{9{,}89 \cdot 10^{-4} \cdot 6{,}30 \cdot 10^{-2}}{8{,}988 \cdot 10^{9}}}\;\text{C}$

$q = \sqrt{\frac{6{,}23 \cdot 10^{-5}}{8{,}988 \cdot 10^{9}}}\;\text{C}$

$q = \sqrt{6{,}93 \cdot 10^{-15}}\;\text{C}$

$\boxed{q \approx 8{,}3 \cdot 10^{-8}\;\text{C} = 83\;\text{nC}}$

Schritt 4: Oberflächenladungsdichte (d)

Die Oberflächenladungsdichte $\sigma$ ist die Ladung pro Fläche der Kugeloberfläche:

$\sigma = \frac{q}{A_{\text{Kugel}}} = \frac{q}{4\pi r^2}$

Mit $r = 0{,}5\;\text{cm} = 5{,}0 \cdot 10^{-3}\;\text{m}$:

$\sigma = \frac{8{,}3 \cdot 10^{-8}\;\text{C}}{4\pi \cdot (5{,}0 \cdot 10^{-3}\;\text{m})^2}$

$\sigma = \frac{8{,}3 \cdot 10^{-8}}{3{,}14 \cdot 10^{-4}}\;\frac{\text{C}}{\text{m}^2}$

$\boxed{\sigma \approx 2{,}6 \cdot 10^{-4}\;\frac{\text{C}}{\text{m}^2} = 0{,}26\;\frac{\text{mC}}{\text{m}^2}}$

Schritt 5: Verbindung mit Draht (e)

Wenn die beiden gleichnamig geladenen Kugeln ($+q$ auf jeder) mit einem leitenden Draht verbunden werden:

• Ladungsausgleich: Da beide Kugeln identisch sind und die gleiche Ladung tragen, findet kein Ladungsfluss statt. Die Ladungen verteilen sich bereits symmetrisch.
• Keine Änderung: Die Kugeln bleiben gleich geladen und in der ausgelenkten Position.

Wären die Kugeln entgegengesetzt geladen ($+q$ und $-q$), würde ein Ladungsausgleich stattfinden: Elektronen fließen von der negativen zur positiven Kugel, bis beide Kugeln ungeladen sind. Die Kugeln würden dann in ihre Ruhelage zurückkehren.

$\boxed{\text{Keine Änderung — beide Kugeln sind identisch geladen}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Influenz	Ladungsverschiebung durch äußeres Feld, Trennung fixiert Ladung
Feldlinien	Gleichnamige Ladungen: Feldlinien nach außen, Neutralfläche in der Mitte
Ladung $q$	$\approx 83\;\text{nC}$
Oberflächenladungsdichte $\sigma$	$\approx 0{,}26\;\frac{\text{mC}}{\text{m}^2}$
Drahtverbindung	Kein Ladungsfluss — beide Kugeln tragen gleiche Ladung